Oblicz prawdopodobieństwo

[Zibi123]

Obliczyć prawdopodobieństwo tego że pierwiastki równania \(ax^2 +bx+1=0\) są rzeczywiste, jeżeli współczynniki a i b są liczbami losowo wybranymi z przedziału <-1,1>

[kerajs]

\(P= \frac{2^2- \int_{0}^{1}( \sqrt{4a}-(-\sqrt{4a}))da }{2^2} \)

[Zibi123]

Nie bardzo rozumiem skąd to się wzięło, czy możesz mi rozpisać?

[kerajs]

tu masz prawdopodobieństwo geometryczne.
W układzie aOb założenie ''a i b są liczbami losowo wybranymi z przedziału <-1,1>'' daje kwadrat o boku 2. Zdarzenia sprzyjające to te punkty kwadratu które spełniają zależność \(b^2-4 \cdot a \cdot 1 \ge 0\).

[Zibi123]

Czyli prawdopodobieństwo wychodzi \(\frac{1}{3}\) ?

[eresh]

Czyli prawdopodobieństwo wychodzi \(\frac{1}{3}\) ?

tak

[kerajs]

Czyli prawdopodobieństwo wychodzi \(\frac{1}{3}\) ?

tak

Moim zdaniem wychodzi \(P=\frac{13}{24}\).

Przy okazji widzę, że źle wyobraziłem sobie (więc powyżej napisałem błędny wzorek) przecięcie paraboli z kwadratem. Ona nie przecina jednego boku, lecz dwa przeciwległe.

[Zibi123]

\(P= \frac{2^2- \int_{0}^{1}( \sqrt{4a}-(-\sqrt{4a}))da }{2^2} \)

To tak nie będzie?

[kerajs]

Niestety nie.
W układzie b0a parabola \(a= \frac{b^2}{4}\) przecina kwadrat w punktach \((-1, \frac{1}{4} )\) i \((1, \frac{1}{4} )\) , a pole pod nią zawiera zdarzenia sprzyjające. Stąd:
\(P= \frac{ \int_{-1}^{1} (\frac{b^2}{4}-(-1))db}{2^2} \)

W układzie a0b parabola \(a= \frac{b^2}{4}\) przecina kwadrat w punktach \(( \frac{1}{4} ,-1)\) i \(( \frac{1}{4} ,1)\), lecz obszar całkowania nie jest normalny i wymaga podziału, czyli jest tu więcej liczenia.