Rozkład normalny

[Pitrosin]

Niech zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(4,5)\).
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego obliczyć prawdopodobieństwo

a) \(P(|X|>3)\)
b) \(P(|X|=10)\)
c) \(P(-3<X<-2)\)

Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego \(N(0,1)\) odczytać przybliżoną wartość \(X_p\)

a) \(P(X<X_p) = 0,88\)
b) \(P(X \ge X_p) = 0,88\)
c) \(P(|X|<X_p) = 0,88\)

Na podstawie badań stwierdzono, że czas wykonania pewnego zadania przez pracownika ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 45 minut i odchyleniu standardowym 10 minut.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba wykona zadanie w czasie nie dłuższym niż 30 minut?
b) Jaki odsetek osób wykonuje to zadanie w czasie pomiędzy 40 a 50 minut?

[grdv10]

Wszystko opiera się na standaryzacji. Jeśli zmienna \(X\) ma rozkład \(N(m,\sigma)\), to zmienna standaryzowana
\(U=\dfrac{X-m}{\sigma}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Wystarczy odpowiednio rozpisać nierówności i je standaryzować.

[Tmkk]

Wiem, że to tylko literówka, ale żeby autor się nie pogubił, powinno być \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\), jeśli chcemy potem dzielić przez sigmę przy normalizacji.

[grdv10]

Wiem, że to tylko literówka, ale żeby autor się nie pogubił, powinno być \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\), jeśli chcemy potem dzielić przez sigmę przy normalizacji.

To wcale nie literówka. Jedni jako drugi parametr podają wariancję, inni odchylenie standardowe. Najpierw skonsultuj z książkami, a potem zarzucaj mi literówkę. Sam to konsultowałem wielokrotnie. I nawet więcej podręczników podaje tak jak ja napisałem.

[Tmkk]

A, no spoko, to sory, myślałem, że podajesz wariancję. Ja nigdy w życiu nie spotkałem się z takim oznaczeniem, więc nie przyszło mi do głowy, aby szukać, że tak czasem jest. To ciekawe czym jest piątka w poście autora

[grdv10]

A, no spoko, to sory, myślałem, że podajesz wariancję. Ja nigdy w życiu nie spotkałem się z takim oznaczeniem, więc nie przyszło mi do głowy, aby szukać, że tak czasem jest. To ciekawe czym jest piątka w poście autora

Z kontekstu wynika, że to odchylenie standardowe.

[Pitrosin]

Wszystko opiera się na standaryzacji. Jeśli zmienna \(X\) ma rozkład \(N(m,\sigma)\), to zmienna standaryzowana
\(U=\dfrac{X-m}{\sigma}\) ma rozkład \(N(0,1).\) Wystarczy odpowiednio rozpisać nierówności i je standaryzować.

Nie wiem czy dobrze to zrozumiałem ale jak mam \( P(|X| > 3)\) to będzie \( U = \frac{|X|-4}{5} \) i \( U = \frac{3-4}{5} \)

[eresh]

Niech zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(4,5)\).
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego obliczyć prawdopodobieństwo

a) \(P(|X|>3)\)
b) \(P(|X|=10)\)
c) \(P(-3<X<-2)\)

\(P(|X|>3)=1-P(|X|\leq 3)=1-P(-3\leq X\leq 3)=1-P(\frac{-3-4}{5}<\frac{X-4}{5}\leq \frac{3-4}{5})=\\=1-P(-1,4\leq\frac{X-4}{5}\leq -0,2)=1-(\Phi(-0,2)-\Phi (-1,4))=\\=1-\Phi(-0,2)+\Phi (-1,4)=1-(1-\Phi(0,2)+(1-\Phi(1,4))\)

[eresh]

Na podstawie badań stwierdzono, że czas wykonania pewnego zadania przez pracownika ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 45 minut i odchyleniu standardowym 10 minut.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba wykona zadanie w czasie nie dłuższym niż 30 minut?
b) Jaki odsetek osób wykonuje to zadanie w czasie pomiędzy 40 a 50 minut?

\(
X\sim \mathcal{N}(45,10)\\
P(X\leq 30)=P(\frac{X-45}{10}<\frac{30-45}{10})=\Phi (-1,5)=1-\Phi(1,5)\approx 1-0,93\\
P(40<X<50)=P(\frac{40-45}{10}<\frac{X-45}{10}<\frac{50-45}{10})=\Phi(0,5)-\Phi(-0,5)=\Phi(0,5)-1+\Phi(0,5)=\\
=2\Phi (0,5)-1\approx 0,383\)

[Pitrosin]

I czy jest jakiś wzór/prosty sposób odnośnie drugiego zadania?

[grdv10]

To jest tzw. dystrybuanta odwrotna (ang. quantile function). Weźmy dla przykładu \(P(X\geqslant X_p)=0.1250.\) Tak więc ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego mamy\[0.1250=P(X\geqslant X_p)=1-P(X<X_p)=1-F(X_p),\]gdzie \(F\) to dystrybuanta rozkładu \(N(0,1)\). Dlatego\[F(X_p)=0.8750\]i przeglądając tablice dystrybuanty znajdujesz, że \[F(1.15)=0.8749,\]czyli \(X_p\approx 1.15\).