Gęstość zmiennej losowej

[amf3tam1nz]

Gęstość zmiennej losowej \(X\) jest dana wzorem
\(f(x) = \begin{cases} ax^5 &\text{dla } x \in (0,3)\\
0 &\text{dla pozostałych}\end{cases}\)
wyznacz parametr \(a\)

Ja wiem jedynie, że gęstość jest tak jakby pochodną dystrybuanty w punkcie, więc np. \(F(x) = x^6\) dla \(x\in (0,3)\) i wtedy \(f(x) = 6x^5\), czyli \(a = 6\), ale to nie ma sensu bo może być \(F(x)=2x^6,\ 3x^6\) itd.. prosze o pomoc

[grdv10]

Wskazówka:\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\text{d}x=1.\]

[amf3tam1nz]

Wskazówka:\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\text{d}x=1.\]

Nie za bardzo mi to pomogło

[grdv10]

A nie potrafisz policzyć tej całki? Przecież ona zredukuje się do przedziału \([0,3]\), bo poza nim masz \(f(x)=0\).

[amf3tam1nz]

\(\displaystyle \int_{0}^{3}ax^5 dx =1\)
\(\dfrac{243a}{2}=1\)
\(a = \dfrac{2}{243}\)
?

[grdv10]

Owszem, tak wygląda ta całka. Po prostu warunek, który napisałem, definiuje gęstość. Ponadto musi to być funkcja nieujemna, ale dla takiego \(a\) oczywiście jest.