Niech \(X\) i \(Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi z identycznym rozkładem normalnym, z wartością oczekiwaną równą \(1\) i wariancją równą \(4\).
a) Ile wynosi \( P(X+Y)\le 2 \) ? Uzasadnij.
b) Sprawdź, czy zmienne \(-5X + 12\) i \(3X + 4Y\) mają ten sam rozkład.
Będę wdzięczna za pomoc.
Rozkład normalny, dwuwymiarowa zmienna losowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Rozkład normalny, dwuwymiarowa zmienna losowa
a) Zmienna \(Z=X+Y\) ma rozkład \(N(1+1,\sqrt{4^2+4^2})=N(2,4\sqrt{2}).\)Robimy standaryzację. Mamy\[Z\leqslant 2\iff U=\frac{Z-2}{4\sqrt{2}}\leqslant\frac{2-2}{4\sqrt{2}}=0,\]więc\[P(Z\leqslant 2)=\Phi(0)=\frac{1}{2},\]gdzie \(\Phi\) oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego \(N(0,1).\)
b) Zmienna \(3X\) ma rozkład \(N(3,12\), a zamienna \(4Y\) ma rozkład \(N(4,16\). Obie są niezależne, więc zmienna \(3X+4Y\) ma rozkład\[N\left(3+4,\sqrt{12^2+16^2}\right)=N(7,20).\]Z kolei zmienna \(-5X+12\) też ma rozkład normalny. Ale \(-5X\) ma rozkład \(N(-10,20)\). Przesunięcie o \(12\) nie zmienia wariancji, więc i odchylenia standardowego. Ale zmienia średnią. Więc nasza zmienna \(-5X+12\) ma rozkład \(N(-10+12,20\)=N(2,20).\) Zatem te dwie zmienne nie mają tego samego rozkładu.
b) Zmienna \(3X\) ma rozkład \(N(3,12\), a zamienna \(4Y\) ma rozkład \(N(4,16\). Obie są niezależne, więc zmienna \(3X+4Y\) ma rozkład\[N\left(3+4,\sqrt{12^2+16^2}\right)=N(7,20).\]Z kolei zmienna \(-5X+12\) też ma rozkład normalny. Ale \(-5X\) ma rozkład \(N(-10,20)\). Przesunięcie o \(12\) nie zmienia wariancji, więc i odchylenia standardowego. Ale zmienia średnią. Więc nasza zmienna \(-5X+12\) ma rozkład \(N(-10+12,20\)=N(2,20).\) Zatem te dwie zmienne nie mają tego samego rozkładu.