Zadania z Estymacji przedziałowej

[KubaK12]

1. Przedsiębiorstwo handlowe A zajmuje się m.in. dystrybucją kawy sprzedając kawę w opakowaniach, których
waga powinna wynosić 1kg. W partii kawy dostarczonej przez przedsiębiorstwo do pewnej spółki
wylosowano 36 opakowań. Średnia waga jednego opakowania wyniosła 0,97kg, a odchylenie standardowe
0,1kg.
a. Oszacuj przedziałowo średnią wagę opakowania kawy, przyjmij \(\alpha=0{,}1\); \(\alpha=0{,}05\) oraz \(\alpha=0{,}01\).
b. Jak liczną próbę należałoby wylosować by oszacować nieznaną średnią wagę opakowania kawy przy
maksymalnym błędzie szacunku 𝑑 = 0,02

2. W pewnym roku na egzaminie z matematyki spośród 125 studentów pewnego kierunku 40 nie rozwiązało
pewnego zadania.
a. Oszacuj przedziałowo nieznany procent opanowania materiału z określonego w zadaniu zakresu
przyjmując poziom ufności 0,95.

[grdv10]

Zrobię zadanie 1b dla \(\alpha=0.05\). Końce przedziału ufności to \[\bar{x}\pm t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n-1}}.\] Maksymalny błąd szacunku to \[t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n-1}}.\]Tak więc musimy rozwiązać nierówność\[t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n-1}}<0.02\tag{1}\]ze względu na \(n\). Niestety nie mamy \(n\), więc musimy zastąpić kwaantyl rozkładu t-Studenta odpowiadającym mu kwantylem rozkładu N(0,1), zwykle oznaczanym przez \(u_{\alpha}\) (zadanie jest rozwiązywalne i bez tego, co pokażę na końcu posta, ale to już matematyczna wyższa szkoła jazdy). Mamy \(u_{0.05}=1.96.\) Tak więc do rozwiązania jest nierówność\[1.96\cdot\frac{s}{\sqrt{n-1}}<0.02.\]Ale \(s=0.1\), więc nierówność ma postać\[\frac{0.196}{\sqrt{n-1}}<0.02,\]skąd\[\sqrt{n-1}>9.8,\qquad n-1>96.04,\qquad n>97.04,\]tak więc należy wylosować próbę co najmniej \(98\)-elementową.

Pobawiłem się moim ulubionym programem R z kwantylem rozkładu t-Studenta. Wyszła mi próba co najmniej \(100\)-elementowa, więc nie za bardzo to się różni. Program polega na empirycznym wstawianiu kolejnych wartości \(n\) i sprawdzaniu czy zachodzi pożądana nierówność (1).

Kod: Zaznacz cały

> n<-function(alpha){
+   k<-2
+   while(qt(1-alpha/2,k-1)*0.1/sqrt(k-1)>=0.02){
+     k<-k+1
+   }
+   return(k)
+ }
> n(0.05)
[1] 100

W zadaniu 2 poszukaj sobie wzoru na przedział ufności dla frakcji (inaczej wskaźnika struktury). A zadanie 1a) to też zwykłe podstawienie do wzoru. Tylko to, które Ci pokazałem, było interesujące.