funkcja charakterystyczna dowód

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
paskulina7
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 05 lis 2016, 12:06
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

funkcja charakterystyczna dowód

Post autor: paskulina7 »

Pokazać, że funkcja charakterystyczna jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne losowe X oraz −X mają ten sam rozkład.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: funkcja charakterystyczna dowód

Post autor: grdv10 »

Załóżmy, że rozkłady \(X\) oraz \(-X\) są identyczne, to ich funkcje charakterystyczne są równe:\[\mathbb{E}(e^{-itX})=\mathbb{E}(e^{-itX})\]dla wszystkich \(t\), więc\[\mathbb{E}(e^{itX}-e^{-itX})=0.\]Ze wzoru Eulera \(e^iy=\cos y+i\sin y\) mamy, że\[e^{itX}-e^{-itX}=2i\sin(tX),\] skąd\[\mathbb{E}\bigl(2i\sin(tX)\bigr)=0,\]czyli\[2i\mathbb{E}\bigl(\sin(tX)\bigr)=0,\]co prowadzi do\[\mathbb{E}\bigl((\sin(tX)\bigr)=0,\]więc\[\varphi_X(t)=\mathbb{E}(e^{itx})=\mathbb{E}\bigl(\cos(tX)\bigr)+i\mathbb{E}\bigl(\sin(tX)\bigr)=\mathbb{E}\bigl(\cos(tX)\bigr)\] i jest to funkcja rzeczywista.

W drugą stronę, niech funkcja charakterystyczna \(\varphi_X\) będzie rzeczywista. Tak więc zachodzi wzór z powyższej linii. Śledząc te wszystkie rachunki w drugą stronę dojdziemy do tego, że zmienne losowe \(X\) oraz \(-X\) mają wtedy identyczną funkcję charakterystyczną, a zatem mają ten sam rozkład.
ODPOWIEDZ