Sprawdzenie czy zachodzi MPWL

[kropek14]

Niezależne zmienne losowe \(X_i, i=1,2, \ldots \) mają ten sam rozkład dyskretny:
a) \(P(X_i=2^k)=\frac{2^{k+3}}{10^{k+1}}, k=0,1,2, \ldots \)
b) \(P(X_i= \frac{(-1)^k}{k} )=\frac{k}{2^k}, k=1,2, \ldots \)
Czy dla takiego ciągu zachodzi MPWL?

[panb]

Niezależne zmienne losowe \(X_i, i=1,2, \ldots \) mają ten sam rozkład dyskretny:
a) \(P(X_i=2^k)=\frac{2^{k+3}}{10^{k+1}}, k=0,1,2, \ldots \)
Czy dla takiego ciągu zachodzi MPWL?

Trzeba sprawdzić, czy \(EX_i<\infty \text{ oraz } Var(X_i)<\infty\)
\(Var(X_i)=E(X_i^2)-(EX_i)^2\)
\[EX_i= \sum_{k=0}^{\infty} \left( 2^k \cdot \frac{2^{k+3}}{10^{k+1}}\right) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{8 \cdot 4^k}{10^{k+1}}=0,8 \cdot \sum_{k=0}^{\infty}0,4^k= 0,8 \cdot \frac{1}{1-0,4}= \frac{4}{3} <\infty \\ EX_i^2=\sum_{k=0}^{\infty} \left((2^k)^2 \cdot \frac{2^{k+3}}{10^{k+1}} \right) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{2k} \cdot 2^{k+3}}{10^{k+1}}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{3(k+1)}}{10^{k+1}} =\sum_{k=0}^{\infty}0,8^{k+1} = \frac{0,8}{1-0,8}=4 \\
Var(X_i)=4- \left( \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{20}{9}<\infty \]

Odpowiedź: Tak.

[kropek14]

Dziękuję. W b) jest błąd (zmienne nie mają tego samego rozkładu) powinno być:
Niezależne zmienne losowe \(X_i, i=1,2, \ldots \) mają rozkład dyskretny \(P(X_i= \frac{(-1)^i}{i} )=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \ldots \)
Czy dla takiego ciągu zachodzi MPWL?

[panb]

Niezależne zmienne losowe \(X_i, i=1,2, \ldots \) mają ten sam rozkład dyskretny:
b) \(P(X_i= \frac{(-1)^k}{k} )=\frac{k}{2^k}, k=1,2, \ldots \)
Czy dla takiego ciągu zachodzi MPWL?

Zastosuj tę samą procedurę.
Wskazówka:
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{k+1}}- \frac{1}{2^k} \right) \\
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot 2^k}\le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k \cdot 2^k } =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^k} <\infty\]

[panb]

W założeniach jest napisane: Niech zmienne losowe \(X_1,X_2,…\) będą niezależne o tym samym rozkładzie.

[kropek14]

Pomyliłem się w przepisywaniu. W b) zmienne nie są o tym samym rozkładzie, a wzór to

\(P(X_i= \frac{(-1)^i}{i} )=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \ldots \)

.

[panb]

Pomyliłem się w przepisywaniu. W b) zmienne nie są o tym samym rozkładzie, a wzór to

\(P(X_i= \frac{(-1)^i}{i} )=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \ldots \)

.

Ponieważ w założeniach do MPWL jest, że rozkłady są takie same, więc

Odpowiedź: b) Nie

[Tmkk]

Ponieważ w założeniach do MPWL jest, że rozkłady są takie same

To nie jest prawda. MPWL to własność, którą rozważa się dla dowolnego ciągu zmiennych losowych o skończonych pierwszych momentach.

[panb]

Ponieważ w założeniach do MPWL jest, że rozkłady są takie same

To nie jest prawda. MPWL to własność, którą rozważa się dla dowolnego ciągu zmiennych losowych o skończonych pierwszych momentach.

Nie będę się spierał. Informacje dot. założenia czerpałem z publikacji dostępnej tutaj.

[Tmkk]

Mocne prawo wielkie liczb to jest własność dla ciągu zmiennych losowych \((X_n)_{n \ge 0}\) o skończonych wartościach oczekiwanych, która mówi, że ciąg \(\frac{1}{n}\sum_{i = 0}^n(X_i - \mathbb{E}X_i) \to 0 \ p.n.\).

No i jeśli dany ciąg spełnia taki warunek (tzn jest ta zbieżność prawie na pewno), to mówimy, że spełnia mocne prawo wielkich liczb. Teraz jest mnóstwo twierdzeń i kryteriów, które tu pomaga, dla przykładu:

MPWL Kołmogorowa mówi, że jeśli zmienne \(X_1,X_2,\ldots\) są niezależne i mają ten sam rozkład, to warunkiem wystarczającym (ale i koniecznym) jest to, aby \(\mathbb{E}|X_1| < \infty\). I to jest linku, który podesłałeś, ale to tylko jedno z wielu kryteriów.

Inny przykład twierdzenia, też Kołmogorowa, jest takie, że jeśli zmienne \(X_1,X_2,\ldots\) są niezależne (niekoniecznie o tym samym rozkładzie) i mają skończone wariancje. Wtedy jeśli \(\sum_{n=0}^\infty \frac{Var(X_n)}{n^2} < \infty\) to ciąg \((X_n)_{n \ge 0}\) spełnia MPWL.

Jak poszukasz w jakiś innych źródłach, gdzie to jest trochę dokładniej opisane, to zobaczysz, że nie oszukuję. Nawet na wiki jest trochę więcej na ten temat.

[panb]

Nie twierdzę, że oszukujesz.
Myślę, że zmienne \( X_i\) były źle (nie do końca określone)!
Jak bowiem rozumieć zapis \( P \left(X_i=\frac{(-1)^i}{i} \right) =\frac{1}{2^i},\quad i=1,2,\ldots\)?
Ja zrozumiałem, że \(P( X_1=-1)=\frac{1}{2}, \,\, P(X_2=\frac{1}{2})=\frac{1}{4}, \,\, P(X_3=-\frac{1}{3})=\frac{1}{8}\), itd. Nie mamy więc rozkładów zmiennych \( X_i\). Wyciągnąłem stąd wniosek, że chodzi o niejednakowość rozkładów

[Tmkk]

No tak, oczywiście, dla tak sformułowanego zadania, ciężko cokolwiek wywnioskować. Mi chodziło tylko o to, że jeśli rozkłady nie są jednakowe, to wcale nie znaczy, że ciąg nie spełnia MPWL. Tak, czy inaczej, autor musi poprawić treść.