zbieżność ciągu ale nie prawie na pewno
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
paskulina7
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 05 lis 2016, 12:06
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
zbieżność ciągu ale nie prawie na pewno
Proszę o pomoc w takim zadaniu. Podać przykład ciągu zmiennych losowych, dla którego zachodzi zbieżność wg prawdopodobieństwa, ale nie prawie na pewno.
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: zbieżność ciągu ale nie prawie na pewno
\[\Pr(X_n=1) = 1-\frac{1}{n}\] \[\Pr(X_n=0) = \frac{1}{n}\]
Mamy \(\Pr\bigl(|X_n-1|\geqslant\varepsilon\bigr)=0\) dla \(\varepsilon>1\) (proste rozpisanie nierówności modułowej). Jeśli \(0<\varepsilon\leqslant 1\), to \(\Pr\bigl(|X_n-1|\geqslant\varepsilon\bigr)=\frac{1}{n}\to 0.\) Dowodzi to, że ciąg \(X_n\) zmierza wg prawdopodobieństwa do zmiennej losowej stale równej \(1\).
Na wykazywanie braku zbieżności prawie na pewno nie mam dziś siły. Przypuśćmy, że \(X_n\to X\) prawie na pewno, więc\[\Pr\bigl(\{\omega\colon X_n(\omega)\to X(\omega)\}\bigr)=1.\]Trzeba uzyskać jakąś sprzeczność z tym faktem. Dobrej nocy.
Mamy \(\Pr\bigl(|X_n-1|\geqslant\varepsilon\bigr)=0\) dla \(\varepsilon>1\) (proste rozpisanie nierówności modułowej). Jeśli \(0<\varepsilon\leqslant 1\), to \(\Pr\bigl(|X_n-1|\geqslant\varepsilon\bigr)=\frac{1}{n}\to 0.\) Dowodzi to, że ciąg \(X_n\) zmierza wg prawdopodobieństwa do zmiennej losowej stale równej \(1\).
Na wykazywanie braku zbieżności prawie na pewno nie mam dziś siły. Przypuśćmy, że \(X_n\to X\) prawie na pewno, więc\[\Pr\bigl(\{\omega\colon X_n(\omega)\to X(\omega)\}\bigr)=1.\]Trzeba uzyskać jakąś sprzeczność z tym faktem. Dobrej nocy.