Wektor losowy, rozkłady brzegowe, kowariancja

[A731ox]

Wektor losowy \((X,Y)\) ma następujący rozkład: \(P((X,Y) = (k,l)) = \frac{4kl}{n^2(n+1)^2} ,\ k,l = 1,2,...n\).

a) Znajdź \(P(X+Y = n+1)\).
b) Znajdź rozkłady brzegowe \(X\) i \(Y\).
c) Oblicz \(Cov(X,Y)\).

Będę wdzięczna za rozwiązanie.

[panb]

Wektor losowy \((X,Y)\) ma następujący rozkład: \(P((X,Y) = (k,l)) = \frac{4kl}{n^2(n+1)^2} ,\ k,l = 1,2,...n\).
a) Znajdź \(P(X+Y = n+1)\).

Będę wdzięczna za rozwiązanie.

\[P(X+Y = n+1)= \sum_{k=1}^{n}P((X,Y)=(k,n-k+1))= \sum_{k=1}^{n} \frac{4k(n-k+1)}{n^2(n+1)^2} = \frac{2(n+1)}{3n(n+1)} \]

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{4k(n-k+1)}{n^2(n+1)^2}= \frac{4}{n^2(n+1)^2}\sum_{k=1}^{n}(kn+k-k^2)=\frac{4}{n^2(n+1)^2} \left(n\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2 \right) \)

Wykonaj to obliczenie samodzielnie korzystając z tego, że:

• \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k= \frac{n(n+1)}{2} \)

• \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

[panb]

Wektor losowy \((X,Y)\) ma następujący rozkład: \(P((X,Y) = (k,l)) = \frac{4kl}{n^2(n+1)^2} ,\ k,l = 1,2,...n\).
b) Znajdź rozkłady brzegowe \(X\) i \(Y\).
Będę wdzięczna za rozwiązanie.

\(\displaystyle P(X=k)=\sum_{l=1}^{n} \frac{4lk}{n^2(n+1)^2}= \frac{2k}{n(n+1)} ;\quad P(Y=l)=\sum_{k=1}^{n} \frac{4lk}{n^2(n+1)^2}= \frac{2l}{n(n+1)} \)