Zadanie z prawdopodobieństwa całkowitego

[Rogowiak]

Cześć,
Zależy mi żeby rozwiązać to zadanie bez użycia drzewka:

W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 2 czarne, a w drugiej 2 białe i 3 czarne. Z pierwszej urny losujemy jedną kulę i wrzucamy do urny drugiej. Następnie, z drugiej urny przenosimy jedną kulę do urny pierwszej. Na końcu, z urny drugiej losujemy dwie kule. Wykonać poniższe polecenia:
a) obliczyć prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy 2 kule różnych kolorów,
b) wiedząc, że w ostatnim losowaniu otrzymano 2 kule różnych kolorów, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w losowaniu z urny pierwszej do urny drugiej otrzymano kulę czarną, natomiast w losowaniu z urny drugiej do pierwszej kulę białą.

[Jerry]

Niech \(H_i\) oznacza hipotezę, że po dwóch losowaniach w drugiej urnie jest \(i\) białych i \(5-i\) czarnych kul, gdzie \(i =1,2,3\)

• \(p(H_1)={2\over6}\cdot{2\over6}={1\over9}\\ p(S|H_1)={1\cdot4\over{5\choose2}}={2\over5}\)

• \(p(H_2)={2\over6}\cdot{4\over6}+{4\over6}\cdot{3\over6}={5\over9}\\ p(S|H_2)={2\cdot3\over{5\choose2}}={3\over5}\)

• \(p(H_3)={4\over6}\cdot{3\over6}={1\over3}\\ p(S|H_3)={3\cdot2\over{5\choose2}}={3\over5}\)

a) Wobec zupełności układu hipotez, z tw. o p-wie całkowitym
\(p(S)={1\over9}\cdot{2\over5}+{5\over9}\cdot{3\over5}+{1\over3}\cdot{3\over5}={26\over45}\)
b) Z wzoru Bayesa
\(p(H_1|S)=\frac{{1\over9}\cdot{2\over5}}{{26\over45}}={1\over13}\)

Pozdrawiam
PS. W brudnopisie namalowałem drzewko...

[edited] poprawki po poniższych

[panb]

Nie wiem czy wszystko jest OK (sprawdź), bo jak widzisz to kosmiczne drzewko.

[Jerry]

Nie wiem czy wszystko jest OK ...

Nie jest... zamiast

W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 2 czarne..

spisałem na kartkę

W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 3 czarne..

Dziękuję, przepraszam, zaraz poprawię...

[edited] poprawiłem, potwierdził się Twój wynik, pozdrawiam
PS. Moje drzewko z brudnopisu (tego niepoprawnego!) nie wygląda tak koszmarnie: