Prawdopodobieństwo geometryczne

[32Wojtek]

Z przedziału \(<0,4>\) wybieramy losowo liczby x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo, że \(x^2 \le y \le 2\).
Mam już rysunek : https://imgur.com/a/mAjxoSh
Mam problem z obliczeniem niebieskiego pola.

[radagast]

\(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{2}} x^2 dx= [\frac{1}{3}x^3 ]_0^\sqrt{2}= \frac{2 \sqrt{2} }{3} \)

[32Wojtek]

Nie rozumiem dlaczego tak..
Z tego filmiku wynika że w ten sposób obliczymy pole pod niebieskim polem w przedziale od \(0\) do \(\sqrt{2} \)
https://www.youtube.com/watch?v=E4q2M1Um4Sk

[panb]

To jest ilustracja.

rys.png (9.03 KiB) Przejrzano 1204 razy

(Pole zielonego obszaru) : 16 - to będzie szukana wartość.

[panb]

Pole zielonego obszaru: \(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt2}(2-x^2)\,{dx} \)

[32Wojtek]

No dobrze ale dlaczego matemaks gdy obliczył pole to zaznaczył obszar pod wykresem a w tym przypadku gdy liczymy pole zaznaczamy obszar nad wykresem?

[radagast]

Słusznie, przepraszam za pomyłkę. W rezultacie pole wynosi \(2- \frac{2 \sqrt{2} }{3} \)

[32Wojtek]

Ja obliczyłem w ten sposób:
Wyznaczyłem pole prostokąta w przedziale od \(0\) do \( \sqrt{2} \) : \(2 \sqrt{2} \)
Następnie obliczyłem całke \( \int_{0}^{ \sqrt{2} } x^2 = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \)
Potem wyznaczyałem zielone pole przez : \(2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} }{3} \)
Wyszło mi : \( \frac{4 \sqrt{2} }{3} \)

[radagast]

Dobrze Ci wyszło . U mnie znów źle

[32Wojtek]

Według twoich oznaczeń :
\( \int_{0}^{ \sqrt{2} } (2-x^2) = 2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} }{3} = \frac{4 \sqrt{2} }{3} \)
tak ?
A teraz pytanie jeżeli chciałbym obliczyc pole od \(0\) d0 \( \sqrt{2} \) pod wykresem wystarczyłoby obliczyć \( \int_{0}^{ \sqrt{2} } x^2 \) ?
Dla przykładu : https://imgur.com/a/OQiDWSg

[panb]

Tak. Całka liczy pole pod wykresem (do osi iksów).
Pole zielonego, to pole pod y=2 minus pole pod wykresem, dlatego pod całką jest \((2-x^2)\)