Teoria jakości i niezawodności - prawdopodobieństwa

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dalaya
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 29 kwie 2021, 23:56

Teoria jakości i niezawodności - prawdopodobieństwa

Post autor: dalaya » 04 maja 2021, 12:26

Przyjmujemy, że uszkodzenie urządzenia wytwarzającego produkt (w szt) może nastąpić tylko w skutek awarii pewnego podzespołu. Urządzenie jest wyposażone w v-1=3 dodatkowe podzespoły (które uruchamiają się automatycznie i pojedynczo) gdy ulegnie awarii podzespół. Urządzenie przerywa pracę po v-krotnej awarii tego podzespołu. Zakładając:
- w ciągu 1h wytwarzana jest 1 szt
- prawdopodobieństwo powstania uszkodzenia przy produkcji kolejnych sztuk (czyli w kolejnych godzinach) jest stałe i wynosi p=0,005
- zdarzenia polegające na powstaniu uszkodzenia przy produkcji kolejnych sztuk są niezależne
Znaleźć :
1. funkcję prawdopodobieństwa czasu T pracy urządzenia
2. dystrybuantę czasu pracy urządzenia
3. prawdopodobieństwo że czas pracy wyniesie :
a) dokładnie 3h b) co najmniej 3h c) dokładnie 24h d) nie mniej niż 16h i nie więcej niż 24h
4. średni czas pracy tego urządzenia.

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

J_u_s_t_y_n_a
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 19 maja 2021, 05:04
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Teoria jakości i niezawodności - prawdopodobieństwa

Post autor: J_u_s_t_y_n_a » 24 maja 2021, 15:08

Z treści zadania trudno mi jednoznacznie wywnioskować, czy zdarzenie polegające na uszkodzeniu z prawdopodobieństwem p=0,005 odnosi się do:
- awarii podzespołu czy
- uszkodzenia całego urządzenia?

Zatem na potrzeby rozwiązania przyjmuję ZAŁOŻENIE, że ma miejsce wersja druga tj:
- "prawdopodobieństwo powstania uszkodzenia przy produkcji kolejnych sztuk (czyli w kolejnych godzinach) jest stałe i wynosi p=0,005" - prawdopodobieństwo to dotyczy uszkodzenia całego urządzenia. W takiej sytuacji liczba podzespołów nie ma znaczenia przy rozwiązaniu tego zadania.

Ponieważ zdarzenia polegające na powstaniu uszkodzenia przy produkcji kolejnych sztuk są niezależne, to zdarzenie możemy modelować za pomocą procesu Poissona z intensywnością lambda=0,005. Dla takiego procesu, czas do wystąpienia awarii jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Możemy więc uzyć rozkładu wykładniczego z średnią czasu do wystąpienia zdarzenia = 1/lambda = 1/ 0,005 (żródło: https://www.kellogg.northwestern.edu/f ... tions.pdf ).

Zatem :
1. Funkcja prawdopodobieństwa czasu T pracy urządzenia = gęstość rozkładu wykładniczego o średniej 1/0,005 = 200. Oznaczmy ją P(X=x).
P(X=x) = 0.005*exp(-0.005*x)
(żródło: https://www.wolframalpha.com/input/?i=P ... ate+0.005 )

2. Dystrybuanta czasu pracy = dystrybuanta rozkładu wykładniczego o średniej 1/0,005
Oznaczmy ją CDF (ang. cumulative distribution function).
CDF(x)=1-exp(-0.005*x)
( https://www.wolframalpha.com/input/?i= ... ate+0.005 )

3.
Obliczenia wykonałam na podstawie wzorów na CDF oraz średnią rozkładu wykładniczego z użyciem wolphram alpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i= ... ate+0.005

a) ZAKŁADAM tutaj, że chodzi o prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w czwartej godzinie pracy, czyli urządzenie zdążyło wyprodukować 3 sztuki, zanim nastąpiła awaria (założenie to jest potrzebne , ponieważ modelujemy zjawisko rozkładem ciągłym, zatem prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w jakimś 1 ustalonym momencie czasu np 3h zawsze wynosi 0 - jest to prawie niemożliwe by awaria nastąpiła dokładnie w momencie czasu t=3h; dopiero prawdopodobieństwo awarii w trakcie określonej godziny pracy np po 3ciej godzinie lecz przed 4tą godziną pracy jest dodatnie; 3<=t<4)
P(3<=X<4) = CDF(4) - CDF(3) = 1-exp(-0.005*4) - (1-exp(-0.005*3)) = exp(-0.005*3)-exp(-0.005*4) = 0.00491327...
( https://www.wolframalpha.com/input/?i= ... .005*4%29 )

b) P(X>=3)= 1 - CDF(3) = 1 - (1-exp(-0.005*3)) = exp(-0.005*3) = 0.98511194...

c) ZAKŁADAM tutaj, że chodzi o prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w 25-tej godzinie pracy, czyli urządzenie zdążyło wyprodukować 24 sztuki (podobnie jak w a))
P(24<=X<25) = CDF(25) - CDF(24) = 1-exp(-0.005*25) - (1-exp(-0.005*24)) = exp(-0.005*24)- exp(-0.005*25) = 0.00442353...

d) ZAKŁADAM tutaj, że chodzi o prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w 16, 17,... lub 25-tej godzinie pracy (tak, że wyprodukowane zostały 16, 17,... lub 24 sztuki)
P(16<=X<25) = CDF(25) - CDF(16)=1-exp(-0.005*25) - (1-exp(-0.005*16)) = exp(-0.005*16) - exp(-0.005*25) = 0.0406194...

4. Średni czas pracy = 1/0,005 = 200h

Pozdrawiam

J_u_s_t_y_n_a
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 19 maja 2021, 05:04
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Teoria jakości i niezawodności - prawdopodobieństwa

Post autor: J_u_s_t_y_n_a » 24 maja 2021, 20:33

Z drugiej strony, jeśli przyjmiemy jednak ZAŁOŻENIE, że ma miejsce wersja pierwsza tj "prawdopodobieństwo powstania uszkodzenia przy produkcji kolejnych sztuk (czyli w kolejnych godzinach) jest stałe i wynosi p=0,005" odnosi się do awarii jednego podzespołu, oraz mamy 4 podzespoły, to czas do awarii całego urządzenia może być modelowany jako suma 4 niezależnych zmiennych wykładniczych.

Każda zmienna wykładnicza reprezentuje czas do wystąpienia awarii jednego podzespołu i ma średnią 1/0,005. Taka suma 4 niezależnych zmiennych wykładniczych ma rozkład gamma z parametrami kształtu=4 oraz intensywności 0,005 (źródło: https://math.mit.edu/~sheffield/2019600/Lecture22.pdf slajdy 19-32).

Zatem obliczenia w punkcie 3. będą analogiczne, lecz z użyciem CDF dla rozkładu gamma.