Statystyka-wartość oczekiwana zmiennej losowej, wariancja

[d1234]

. (Dwie kostki). Doświadczenie polega na rzucie dwiema kośćmi do gry. Zm. l. 𝑋𝑖
jest równa
dla 𝑖 = 1 − sumie ilości oczek wyrzuconych na obu kościach,
dla 𝑖 = 2 − iloczynowi ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 3 − maksimum ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 4 − minimum ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 5 − średniej arytmetycznej ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 6 − rozstępowi ilości wyrzuconych oczek.
a) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej 𝑋𝑖
,
b) Obliczyć wariancję 𝑋i

[panb]

. (Dwie kostki). Doświadczenie polega na rzucie dwiema kośćmi do gry. Zm. l. 𝑋𝑖
jest równa
dla 𝑖 = 1 − sumie ilości oczek wyrzuconych na obu kościach,
dla 𝑖 = 2 − iloczynowi ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 3 − maksimum ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 4 − minimum ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 5 − średniej arytmetycznej ilości wyrzuconych oczek,
dla 𝑖 = 6 − rozstępowi ilości wyrzuconych oczek.
a) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej 𝑋𝑖
,
b) Obliczyć wariancję 𝑋i

Warto sporządzić tabelkę obrazującą wartości danej zmiennej losowej.
Oto przykład:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X_6&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&0 &1 &2 &3 &4 &5\\
\hline
2&1 &0 &1 &2 &3 &4 \\
\hline
3&2 &1 &0 &1 &2 &3\\
\hline
4&3 &2 &1 &0 &1 &2\\
\hline
5&4 &3 &2 &1 &0 &1\\
\hline
6&5 &4 &3 &2 &1 &0\\
\hline
\end{array}
\)

\(P(X_6=0)= \frac{6}{36}= \frac{1}{6} \text{ bo w tabelce jest 6 zer} \\
P(X_6=1)= \frac{10}{36}= \frac{5}{18} \text{ bo w tabelce jest 10 jedynek}\\
P(X_6=2)= \frac{8}{36}= \frac{2}{9}\\
P(X_6=3)= \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\
P(X_6=4)= \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \\
P(X_6=5)= \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
\)

1. \(E(X_6)=0 \cdot \frac{6}{36} +1 \cdot \frac{10}{36} +2 \cdot \frac{8}{36} +3 \cdot \frac{6}{36} +4 \cdot \frac{4}{36} +5 \cdot \frac{2}{36} = \frac{70}{36}= \frac{35}{18} \)
2. \(E(X_6^2)=0^2 \cdot \frac{6}{36} +1^2 \cdot \frac{10}{36} +2^2 \cdot \frac{8}{36} +3^2 \cdot \frac{6}{36} +4^2 \cdot \frac{4}{36} +5^2 \cdot \frac{2}{36}= \frac{210}{36} \\
   D^2(X_6)=E(X_6^2)- \left[E(X_6) \right]^2= \frac{105}{18}- \left( \frac{35}{18}\right)^2= \frac{665}{324} \)

[d1234]

Dziękuję bardzo za pomoc!

[eresh]

. (Dwie kostki). Doświadczenie polega na rzucie dwiema kośćmi do gry. Zm. l. 𝑋𝑖
jest równa
dla 𝑖 = 1 − sumie ilości oczek wyrzuconych na obu kościach,
a) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej 𝑋𝑖
,
b) Obliczyć wariancję 𝑋i

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X_1&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&2 &3 &4 &5 &6 &7\\
\hline
2&3 &4 &5 &6 &7 &8 \\
\hline
3&4 &5 &6 & 7&8 &9\\
\hline
4&5 &6 &7 &8 &9 &10\\
\hline
5&6 &7 &8 &9 &10 &11\\
\hline
6&7 &8 &9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array}
\)

\(P(X_1=2)=\frac{1}{36}\\
P(X_1=3)=\frac{2}{36}\\
P(X_1=4)=\frac{3}{36}\\
P(X_1=5)=\frac{4}{36}\\
P(X_1=6)=\frac{5}{36}\\
P(X_1=7)=\frac{6}{36}\\
P(X_1=8)=\frac{5}{36}\\
P(X_1=9)=\frac{4}{36}\\
P(X_1=10)=\frac{3}{36}\\
P(X_1=11)=\frac{2}{36}\\
P(X_1=12)=\frac{1}{36}\\
\mathbb{E_1}X=2\cdot \frac{1}{36}+3\cdot \frac{2}{36}+4\cdot \frac{3}{36}+5\cdot \frac{4}{36}+6\cdot \frac{5}{36}+7\cdot \frac{6}{36}+8\cdot \frac{5}{36}+9\cdot \frac{4}{36}+10\cdot \frac{3}{36}+11\cdot \frac{2}{36}+12\cdot \frac{1}{36}\\
\mathbb{E}X_1^2=2^2\cdot \frac{1}{36}+3^2\cdot \frac{2}{36}+4^2\cdot \frac{3}{36}+5^2\cdot \frac{4}{36}+6^2\cdot \frac{5}{36}+7^2\cdot \frac{6}{36}+8^2\cdot \frac{5}{36}+9^2\cdot \frac{4}{36}+10^2\cdot \frac{3}{36}+11^2\cdot \frac{2}{36}+12^2\cdot \frac{1}{36}\\
\mathbb{D}^2X_1=\mathbb{E}X^2_1-\mathbb{E}^2X_1\)

[d1234]

A jak będzie wyglądała tabelka dla maksimum lub minimum?

[eresh]

A jak będzie wyglądała tabelka dla maksimum lub minimum?

maksimum
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1 &2 &3 &4 &5 &6\\
\hline
2&2 &2 &3 & 4&5 &6 \\
\hline
3&3 &3 &3 & 4&5 &6\\
\hline
4&4 &4 &4 &4 &5 &6\\
\hline
5&5 &5 &5 &5 &5 &6\\
\hline
6&6 &6 &6 &6 &6 &6\\
\hline
\end{array}
\)

[eresh]

minimum:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X_1&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1& 1& 1&1 &1 &1 &1\\
\hline
2&1 &2 &2 &2 &2 &2 \\
\hline
3&1 &2 &3 & 3&3 &3\\
\hline
4&1 &2 &3 &4 &4 &4\\
\hline
5&1 &2 &3 &4 &5 &5\\
\hline
6&1 &2 &3 &4 &5 &6\\
\hline
\end{array}
\)

[eresh]

. (Dwie kostki). Doświadczenie polega na rzucie dwiema kośćmi do gry. Zm. l. 𝑋𝑖
jest równa
dla 𝑖 = 5 − średniej arytmetycznej ilości wyrzuconych oczek,

rozkład:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X_1&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5\\
\hline
2&1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4 \\
\hline
3&2 &2,5 &3 &3,5&4,5 &4,5\\
\hline
4&2,5 &3 &3,5 &4 &4,5 &5\\
\hline
5&3 &3,5 &4 &4,5 &5 &5,5\\
\hline
6&3,5 &4 &4,5 &5 &5,5 &6\\
\hline
\end{array}
\)