Wykaż

[mikmat]

Niech A i B są zdarzeniami losowymi. Wykazać, że zachodzi następująca równość:
\(P(A)+P(A' \cap B)= P(B)+P(A \cap B')\)

[janusz55]

Dodajemy do obu stron równości

\( -P(B) - P(A \cap B'). \)

Wykażemy, że

\( P(A) - P(B) + P(A' \cap B) - P(A \cap B') = 0 \)

Korzystamy z definicji zdarzenia przeciwnego.

\( P(A) - P(B) + P[(\Omega -A) \cap B] - P[A \cap (\Omega - B)] = P(A) -P(B) +P(\Omega \cap B)- P(A \cap B) -P(A \cap \Omega)+\)
\(+ P(A \cap B) = P(A) - P(B) +P(B) - P(A \cap B) - P(A) + P(A \cap B) = 0. \)

\(\Box \)

[kerajs]

Z diagramu Venna widać iż:
\(P(A' \cap B)= P(B)-P(A \cap B)\)
oraz
\(P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)\)
Wystarczy to wstawić do udowadnianej równości.
\(L=P(A)+P(A' \cap B)=P(A)+ P(B)-P(A \cap B)=\\= P(B)+(P(A)-P(A \cap B))= P(B)+P(A \cap B')=P\)