Prawdopodobieństwa i test Chi-Kwadrat

[michaldaro]

Proszę o sprawdzenie obliczeń prawdopodobieństwa p i testu Chi-Kwadrat. Mam do przeanalizowania pytanie wielokrotnego wyboru. Na podstawie przeprowadzonej ankiety wyszła mi zależność preferowanego sportu od stażu pracy:

sport\staż pracy |poniżej 1 roku|1-5 lat|6-15|powyżej 15|suma końcowa
koszykówka .....|6................|12......|22...|33...........|73
ping-pong........|2................|2 .......|6....|6 ............|16
siatkówka........|4...............|14 .......|15...|41..........|74
piłka nożna......|10..............|25.......|33....|59..........|127
piłka ręczna.....|0................|3........|3.....|7............|13
suma końcowa..|22..............|56........|79...|146.........|303

dla powyższych danych obliczam liczebności teoretyczne według tego filmu https://www.youtube.com/watch?v=_OP9wvRznYg&t=16s

sport\staż pracy |poniżej 1 roku|1-5 lat..........|6-15.............|powyżej 15
koszykówka .....|5,300330033...|13,49174917...|19,0330033....|35,17491749
ping-pong........|1,161716172...|2,95709571.....|4,171617162...|7,709570957
siatkówka........|5,372937294...|13,67656766....|19,29372937...|35,65676568
piłka nożna......|9,221122112...|23,47194719....|33,11221122...|61,19471947
piłka ręczna.....|0,943894389...|2,402640264....|3,389438944....|6,264026403
Obliczenia wykonałem w exell-u.
Teraz obliczam Chi-Kwadrat dla poszczególnych odpowiedzi w taki sposób:
sport\staż pracy |poniżej 1 roku|1-5 lat...........|6-15............|powyżej 15
koszykówka .....|6................|12................|22...............|33
koszykówka .....|5,300330033...|13,49174917...|19,0330033....|35,17491749

\[koszykówka:Chi-Kwadrat=\frac{(6-5,300330033)^2}{5,300330033}+\frac{(12-13,49174917)^2}{13,49174917}+\frac{(22-19,0330033)^2}{19,0330033}+\frac{(33-35,17491749)^2}{35,17491749}=0,092359921+0,164938999+0,462516045+0,134478385=0,85429335\]
w taki sam sposób robię dla pozostałych zestawień i wychodzą mi następujące wyniki:
sport\staż pracy |
koszykówka .....|0,85429335
ping-pong........|2,095127773
siatkówka........|2,114716282
piłka nożna......|0,244360216
piłka ręczna.....|1,223630518

Teraz w exellu za pomoca wbudowanej funkcji TEST.CH.
Przykład obliczenia dla koszykówki:
sport\staż pracy |poniżej 1 roku|1-5 lat...........|6-15............|powyżej 15
koszykówka .....|6................|12................|22...............|33
koszykówka .....|5,300330033...|13,49174917...|19,0330033....|35,17491749
p= =ZAOKR(TEST.CHI(6|12|22|33;5,300330033|13,49174917|19,0330033|35,17491749);5)=0,83644
Obliczam prawdopodobieństwa i wychodzą mi następujące wyniki:
koszykówka .....|0,83644
ping-pong........|0,5529
siatkówka........|0,54894
piłka nożna......|0,97013
piłka ręczna.....|0,96379
Czy mógłby ktoś sprawdzić i potwierdzić czy wyniki zarówno wyniki Chi-Kwadrat oraz prawdopodobieństwa są prawidłowe? Niestety nie mam programu statistica i obliczenia robiłem w exell-u? Dla mnie są to dosyć dziwne wyniki prawdopodobieństwa ponieważ wszystkie są powyżej labda 0,05 a to oznacza że te dwa elementy sport i staż pracy dla każdej z odpowiedzi sa zupełnie nie zależne. Serdecznie proszę o podpowiedź i sugestie w tej sprawie.

[janusz55]

Pozwoli Pan, że zamiast sprawdzać Pańskie rozwiązanie, rozwiążę zadanie od początku do końca.

Test niezależności Neymana- Persona - \( \chi^2\)

Hipotezy

\( H_{0}: p_{ij} = p_{i}\cdot p_{j} \)

\( H_{1}: p_{ij} \neq p_{i}\cdot p_{j}\)

Statystyka testowa

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}\frac{n^2_{ij}}{\hat{n_{ij}}} -n \)

Wartość statystyki dla danych z ankiety

\( \left [\begin{matrix} n_{ij} & \hat{n_{ij}} = \frac{n_{i}\cdot n_{j}}{n} & \frac{n^2_{ij}}{\hat{n_{ij}}} \\
6 & 5,3003 & 6,7921 \\ 12 & 13.429 & 10,673 \\ 22 & 19,033 & 25,430 \\ 33 & 13,175 & 82,657 \\ 2 & 1,617 & 2,4737 \\
2 & 2,9517 & 1,3552 \\ 6 & 4,1716 & 8,6298 \\ 6 & 7,7096 & 4,6695 \\ 4 & 5,3729 & 2,9779 \\ 14 & 13,677 &14,331 \\
15 & 19,924 & 11,662 \\ 41 & 10,013 & 167,88 \\ 10 & 9,2211 & 10,845 \\ 25 & 23,472 & 26,627 \\ 33 & 33,112 & 32,888 \\
59 & 61,195 & 56,884 \\ 0 & 0,9439 & 0 \\ 3 & 2,4026 & 3,7459 \\ 3 & 38,94 & 2,6553 \\ 7 & 6,2640 & 7,8225 \\ 303 & 255,81 & 481,00 \end{matrix} \right ] \)

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{4} \frac{n^2_{i j}}{\hat{nij}} - n = 481- 303 = 178. \)

Obszar krytyczny testu

Z tablicy rozkładu \( \chi^2 \) odczytujemy wartość krytyczną dla poziomu istotności \( \alpha = 0,05 \) i liczby stopni swobody \( (5 -1)(4-1) = 12. \)

Odczytana wartość krytyczna statystyki wynosi \( \chi^2_{\alpha} (0,05, 12 ) = 21,026.\)

Wartość statystyki obliczona z próby jest większa od wartości krytycznej odczytanej z tablic \( \chi^2 = 178 > 21,026 = \chi^2_{\alpha}, \) a zatem należy ona do obszaru krytycznego.

Powoduje to odrzucenie hipotezy zerowej , zakładającej niezależność stażu pracy od preferowanej dyscypliny sportowej.

Staż pracy zależy od preferowanej dyscypliny sportowej.

[michaldaro]

Dziękuję bardzo za zaangażowanie i rozwiązanie zadania, nie mniej jednak ja musze obliczyć parametr p i parametr \quad x^{2} dla każdej z odpowiedzi i wykazać i na podstawie tych obliczonych parametrów wykazać czy są one zależne od stażu pracy. Czy mógłby Pan jeszcze pomóc i obliczyć te parametry dla każdej z odpowiedzi czyli: piłki nożnej, koszykówki....

[janusz55]

Proszę podzielić macierz po cztery wiersze odpowiadające każdej z czterech wymienionych dyscyplin sportu.

Przeprowadzić cztery testy \( \chi^2 \) dla każdego rodzaju sportu.

Wyniki obliczeń są gotowe. Pozostaje obliczeń tylko sum w kolumnach.

Czy ma Pan obliczyć wartość \( p_{value} \) do każdego z tych czterech testów?

[michaldaro]

Tak dokładnie i też test chi kwadrat dla każdej z odpowiedzi czyli koszykówka, piłka nożna... Tak patrzę na Pana obliczenia i np mi się nie pokrywa z tym co Pan ma w macierzy. Podaje przykład: dla pierwszego 33 wyszło Panu 13,175 a u mnie wychodzi 35,175 dosyć duża różnica. Ja obliczałem w taki sposób 146*73/303 . A Pan w jaki sposób obliczył tą wartość? 13,175?

[janusz55]

U Pana jest wynik prawidłowy i wartość drugiej kolumny tego wiersza wynosi \( 30,959\) Proszę sprawdzić moje obliczenia, które wykonywałem w Octave.

Po przeprowadzeniu testów \( \chi^2 \) dla każdej z dyscyplin obliczymy wartości \( p_{value}.\)

[michaldaro]

Czy mógłby Pan mi pokazać jak nalezy obliczyć i jak Panu wychodzi pvalue dla każdej z odpowiedzi? Mi tak powychodziło i nie wiem czy to dobrze?
Obliczam prawdopodobieństwa i wychodzą mi następujące wyniki:
koszykówka .....|0,83644
ping-pong........|0,5529
siatkówka........|0,54894
piłka nożna......|0,97013
piłka ręczna.....|0,96379

Proszę o pomoc.

[janusz55]

A jak Pan liczy te wartości nie znając wartości statystyki testowej na przykład dla koszykówki ?

[michaldaro]

"Teraz w exellu za pomoca wbudowanej funkcji TEST.CH.
Przykład obliczenia dla koszykówki:
sport\staż pracy |poniżej 1 roku|1-5 lat...........|6-15............|powyżej 15
koszykówka .....|6................|12................|22...............|33
koszykówka .....|5,300330033...|13,49174917...|19,0330033....|35,17491749
p= =ZAOKR(TEST.CHI(6|12|22|33;5,300330033|13,49174917|19,0330033|35,17491749);5)=0,83644"

[michaldaro]

Wydaje mi się że coś tutaj jednak jest żle obliczone ale nie wiem jak to powinno wyglądać i dlatego proszę o pomoc. Wydaje mi się, że te wartości prawdopodobieństw powinny być dla każdej odpowiedzi mniejsze niż 0,05 a niestety wszystkie są większe. Panu wyszło że istnieje zależność natomiast moje obliczone prawdopodobieństwa pokazują sprzeczność. Proszę o pomoc w jaki sposób należy obliczyć te prawdopodobieństwa dla każdej z tych odpowiedzi.

[janusz55]

Policzmy wartość \( p_{value} \)dla całego testu wszystkich dyscyplin sportowych.

\( Pr(\chi^2 =126,30|H_{0}) = P(126,30\leq \chi^2_{\alpha} (0,05, 9)) = 1 - P(126,30 \geq \chi^2_{\alpha}(0,05,9))= 1- 1 =0.\)

Wartość \( p_{value} = 0,00 < 0,05 = \alpha \) można postępować tak (przy wszystkich spełnionych założeniach), jakby hipoteza zerowa została odrzucona.

Co potwierdza odrzucenie hipotezy zerowej.

[michaldaro]

Czy mógłby Pan mi obliczyć jeszcze p value tylko dla koszykówki, żebym załapał w jaki sposób należy to obliczać? Bardzo proszę jeszcze o ten przykład.

[janusz55]

Proszę obliczyć wartość statystyki testowej dla koszykówki.

[michaldaro]

Wydaje mi się że to będzie: 6,7921+10,673+25,430+82,657-6-12-22-33 = 52,5521

[janusz55]

Koszykówka

\( H_{0}: p_{11}= p_{1.}\cdot p_{.1} \)

\( H_{1}: p_{11}\neq p_{1.}\cdot p_{.1} \)


Wartość statystyki na podstawie danych z ankiety:

\( \chi^2_{kosz} = 6.7921 + 10,673 + 25,430+ 30,959 - (6 + 12 +22 + 33) = 0,854.\)

\( p_{ kosz} = Pr( \chi^2 = 0,854|H_{0}) = Pr( 0,854 < \chi^{2}_{\alpha}(0,05, (1-1)\cdot (4-1)) = 1 - Pr( 0,854 \geq \chi^{2}_{\alpha}(0,05, 0) = \)
\( = 1 - 1 = 0.\)