Dwa zadanka

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MetalSkulkBane
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 21
Rejestracja: 13 gru 2019, 22:33
Podziękowania: 21 razy
Płeć:

Dwa zadanka

Post autor: MetalSkulkBane »

1 Badano dzienny czas poświęcany przez dzieci w wieku przedszkolnym naoglądaniu telewizji. Uzyskano następujące wyniki na próbie przedszkolaków(w minutach): 132, 114, 51, 97, 117, 119, 122, 65, 109, 84, 85, 134, 133,107, 149. Czy zebrane wyniki potwierdzają przypuszczenia, że przedszkolaki spędzają na oglądaniu telewizji przeciętnie dwie godziny dziennie?

2 Promień koła jest zmienną losową o gęstości \(f(x)=e^{−x}\) dla \(x>0\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x≤0\). Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa pola tego koła.

Z góry dzięki za pomoc :)
Ostatnio zmieniony 14 lut 2021, 22:51 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wstawienie tagów LaTeX-a.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Dwa zadanka

Post autor: grdv10 »

Na czym ta pomoc ma polegać?

ad 1.

Kod: Zaznacz cały

> czas<-c(132, 114, 51, 97, 117, 119, 122, 65, 109, 84, 85, 134, 133,107, 149)
> shapiro.test(czas)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  czas
W = 0.95227, p-value = 0.5609
Przeprowadzony test Shapiro-Wilka z dużą p-wartością daje brak podstaw do odrzucenia hipotezy, że wybrana próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym cechy.

Teraz przeprowadzamy test Studenta.

Kod: Zaznacz cały

> mean(czas)
[1] 107.8667
Średnia z próby skłania do przyjęcia lewostronnej hipotezy alternatywnej.

Kod: Zaznacz cały

> t.test(czas,mu=120,alternative = 'less')

	One Sample t-test

data:  czas
t = -1.731, df = 14, p-value = 0.05271
alternative hypothesis: true mean is less than 120
95 percent confidence interval:
     -Inf 120.2124
sample estimates:
mean of x 
 107.8667
Odpowiedź jest wysoce niejednoznaczna. p-wartość na pozionie 5.2% mówi nam, że na poziomach istotności do 5% brak podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że czas oglądania TV to 2h. Na wyższych poziomach istotności odrzucamy tę hipotezę na rzecz alternatywnej, że ten czas jest krótszy.

Zrobię jeszcze test Studenta przy obustronnej hipotezie alternatywnej.

Kod: Zaznacz cały

> t.test(czas,mu=120)

	One Sample t-test

data:  czas
t = -1.731, df = 14, p-value = 0.1054
alternative hypothesis: true mean is not equal to 120
95 percent confidence interval:
  92.83294 122.90039
sample estimates:
mean of x 
 107.8667
Tutaj p-wartość jest na poziomie 10.5%. Oznacza to, że na sensownych poziomach istotności brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Reasumując, te dane nie upoważniają nas do żadnego kategorycznego stwierdzenia. To jest moja opinia na podstawie wyników badań.

Uwaga: obliczenia - jak zawsze - przeprowadziłem w R.

ad 2. Wskazówka: pole koła o promieniu \(r\) to \(\pi r^2\). Rozkład zmiennej losowej wyznacza np. jego funkcja gęstości. Może też być dystrybuanta.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Dwa zadanka

Post autor: panb »

MetalSkulkBane pisze: 14 lut 2021, 22:26 2 Promień koła jest zmienną losową o gęstości \(f(x)=e^{−x}\) dla \(x>0\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x≤0\). Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa pola tego koła.

Z góry dzięki za pomoc :)
Niech X - będzie zmienna losową o wartościach będących promieniem.
Wtedy dystrybuanta \(\displaystyle F_X(x)=P(X\le x)= \int_{0}^{x} e^{-t}\,{dt}=1-e^{-x}\)
Jeśli Y będzie zmienną losową o wartościach będących polem koła o promieniu X, to jej dystrybuanta
\(\displaystyle F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\pi X^2\le y)=P\left(X\le \sqrt{ \frac{y}{\pi} }\right)=F_X\left( \sqrt{ \frac{y}{\pi} } \right)=1-e^{-\sqrt{ \frac{y}{\pi} }}\)
Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa pola tego koła ma postać \[F(x)= \begin{cases}1-e^{-\sqrt{ \frac{x}{\pi} }} &\text{dla }\,\, x>0\\ 0& \text{dla }\,\,x\le 0 \end{cases} \]
Gęstość rozkładu tej zmiennej otrzymamy obliczając pochodną \(F'(x)\) - pozostawiam to do samodzielnego wykonania.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1428
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Dwa zadanka

Post autor: janusz55 »

Zadanie 1

Hipotezy:

\( H_{0}: \mu = 120 \ \ min,\)

\( H_{1}: \mu \neq 120 \ \ min.\)

Ustalamy poziom istotności testu

\( \alpha = 0,05.\)

Statystyką testową jest

\( T = \frac{\overline{X} - m_{0}}{S/\sqrt{n-1}} \)

Przy założeniu prawdziwości hipotezy \( H_{0}\) statystyka \( T \) ma rozkład Studenta z \( n-1 \) stopniami swobody.

Z uwagi na postać \( H_{1} \) - obszar krytyczny testu jest dwustronny

\( \mathcal{K} = (-\infty, -t_{\alpha}) \cup (t_{\alpha},\ \ \infty) \)

gdzie

wartość krytyczną \( t_{\alpha} \) dobieramy tak, by \( P(|T|\geq \alpha |H_{0}) = \alpha.\)

Obliczamy wartość statystyki \( T \) na podstawie \( 15 -\) elementowej próby.

W tym celu wykorzystamy program \( R \)

Kod: Zaznacz cały

> czas<-c(132,114,51,97,117,119,122,65,109,84,85,134,133,107,149)
> X = mean(czas)
> X
[1] 107.8667
> S = sd(czas)
> S
[1] 27.14739
\( t = \frac{(107,9 -120) \cdot \sqrt{14}}{27,1} = -1,67 \)

Znajdujemy obszar krytyczny testu

\( t_{\alpha} = F^{-1}_{t, 14} \left( 0, 05\right) = 2,145. \)

\( \mathcal{K} = (-\infty, -2,145) \cup (2,145, \infty) \)

\( t = -1,67 \notin \mathcal{K} \)

Decyzja

Z prawdopodobieństwem \( 0,95 \) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \( H_{0}, \) że czas oglądalności telewizji przez przedszkolaków wynosi 120 minut ( 2 godziny).

Najmniejszy poziom istotności testu \( \alpha, \) dla którego odrzucamy hipotezę \( H_{0}, \) lub największy dla którego nie odrzucamy

\( p = P(|T|>|-1,67||H_{0}) = 2\cdot F_{t,14}(1,67) \approx 0,2.\)
ODPOWIEDZ