Zadanie dla bardzo ambitnych

[janusz55]

\( P(Ł, 3) = \sum_{i\neq j} P(j)\cdot \frac{P(Ł,2)}{1 - P_{j}} =...\)

[michaldaro]

To, że akurat należy wykorzystać taki wzór to mogłem się tego domyśleć, nie mniej jednak nie wiem jak należy do niego powpisywać prawdopodobieństwa (liczby). Bardzo serdecznie proszę o napisanie rozwiązania. Nie jestem za bardzo bystry w tych prawdopodobieństwach i dlatego tutaj poprosiłem o pomoc. Mam nadzieję że jak zobaczę w jaki sposób się oblicza dla Łukasza prawdopodobieństwo ukończenia zawodów dla 2 i 3 miejsca to dalej już będę potrafił obliczyć prawdopodobieństwo że Łukasz ukończy na 4 miejscu. Bardzo proszę o wyrozumiałość i napisanie rozwiązania, bo nie wiem jak do tego wzoru należy powpisywać liczby.

[janusz55]

\( P(Ł, 3) = 0,40\cdot \frac{0,28}{1 -0,4} + 0,3\cdot \frac{0,28}{1 -0,3} + \frac{0,1}{1 -0,1} = 0,40\cdot \frac{0,28}{0,60} + 0,30 \cdot \frac{0,28}{0,70} + 0,10\cdot \frac{0,28}{0,90} \approx 0,34.\)

Octave 6.1.0

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                                      
>> 0.40*0.28/0.60 + 0.30*0.28/0.70 + 0.10*0.28/0.90
ans = 0.3378

W wyniku realizacji doświadczenia losowego, polegającego na obserwacji kolejności czterech chłopców na mecie, możemy oczekiwać, że w około \( 34\% \) ogólnej liczby obserwacji - Łukasz przybiegnie na trzecim miejscu.

[michaldaro]

Na podstawie tych dwóch przykładów dokonałem pozostałych obliczeń. Jeśli by Pan miał czas to prosiłbym o sprawdzenie, czy dobrze zrozumiałem Pana metodę obliczania dla pozostałych przypadków:

Andrzej 40%
P(A,1)=0,4(40%)
P(A,2)=0,3\(\frac{0,4}{1-0,3}+0,2\frac{0,4}{1-0,2}+0,1\frac{0,4}{1-0,1}=0,3\frac{0,4}{0,7}+0,2\frac{0,4}{0,8}+0,1\frac{0,4}{0,9}=0,1714+0,1+0,044=0,3154\)(31,54%)
P(A,3)=0,3\(\frac{0,3154}{1-0,3}+0,2\frac{0,3154}{1-0,2}+0,1\frac{0,3154}{1-0,1}=0,3\frac{0,3154}{0,7}+0,2\frac{0,3154}{0,8}+0,1\frac{0,3154}{0,9}=0,1352+0,0789+0,0350=0,2491\)(24,91%)
P(A,4)=0,3\(\frac{0,2491}{1-0,3}+0,2\frac{0,2491}{1-0,2}+0,1\frac{0,2491}{1-0,1}=0,3\frac{0,2491}{0,7}+0,2\frac{0,2491}{0,8}+0,1\frac{0,2491}{0,9}=0,1068+0,0622+0,0277=0,1967\)(19,67%)

Michał 30%
P(M,1)=0,3(30%)
P(M,2)=0,4\(\frac{0,3}{1-0,4}+0,2\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\frac{0,3}{1-0,1}=0,4\frac{0,3}{0,6}+0,2\frac{0,3}{0,8}+0,1\frac{0,3}{0,9}=0,2+0,075+0,0333=0,3083\)(30,83%)
P(M,3)=0,4\(\frac{0,3083}{1-0,4}+0,2\frac{0,3083}{1-0,2}+0,1\frac{0,3083}{1-0,1}=0,4\frac{0,3083}{0,6}+0,2\frac{0,3083}{0,8}+0,1\frac{0,3083}{0,9}=0,2055+0,0771+0,0343=0,3169\)(31,69%)
P(M,4)=0,4\(\frac{0,3169}{1-0,4}+0,2\frac{0,3169}{1-0,2}+0,1\frac{0,3169}{1-0,1}=0,4\frac{0,3169}{0,6}+0,2\frac{0,3169}{0,8}+0,1\frac{0,3169}{0,9}=0,2113+0,0792+0,0352=0,3257\)(32,57%)

Łukasz 20%
P(Ł,1)=0,2(20%)
P(Ł,2)=0,4\(\frac{0,2}{1-0,4}+0,3\frac{0,1}{1-0,3}+0,1\frac{0,1}{1-0,1}=0,4\frac{0,2}{0,6}+0,3\frac{0,2}{0,7}+0,1\frac{0,2}{0,9}=0,1333+0,0857+0,0222=0,2412\)(24,12%)
P(Ł,3)=0,4\(\frac{0,2412}{1-0,4}+0,3\frac{0,2412}{1-0,3}+0,1\frac{0,2412}{1-0,1}=0,4\frac{0,2412}{0,6}+0,3\frac{0,2412}{0,7}+0,1\frac{0,2412}{0,9}=0,1608+0,1034+0,0268=0,291\)(29,1%)
P(Ł,4)=0,4\(\frac{0,291}{1-0,4}+0,3\frac{0,291}{1-0,3}+0,1\frac{0,291}{1-0,1}=0,4\frac{0,291}{0,6}+0,3\frac{0,291}{0,7}+0,1\frac{0,291}{0,9}=0,194+0,1247+0,0323=0,351\)(35,1%)

Bartek 10%
P(B,1)=0,1(10%)
P(Ł,2)=0,4\(\frac{0,1}{1-0,4}+0,3\frac{0,1}{1-0,3}+0,2\frac{0,1}{1-0,2}=0,4\frac{0,1}{0,6}+0,3\frac{0,1}{0,7}+0,2\frac{0,1}{0,8}=0,0666+0,0429+0,025=0,1345\)(13,45%)
P(B,3)=0,4\(\frac{0,1345}{1-0,4}+0,3\frac{0,1345}{1-0,3}+0,2\frac{0,1345}{1-0,2}=0,4\frac{0,1345}{0,6}+0,3\frac{0,1345}{0,7}+0,2\frac{0,1345}{0,8}=0,0897+0,0576+0,0336=0,1809\)(18,09%)
P(B,4)=0,4\(\frac{0,1809}{1-0,4}+0,3\frac{0,1809}{1-0,3}+0,2\frac{0,1809}{1-0,2}=0,4\frac{0,1809}{0,6}+0,3\frac{0,1809}{0,7}+0,2\frac{0,1809}{0,8}=0,1206+0,0775+0,0452=0,2433\)(24,33%)

[janusz55]

Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do \( 100\% = 1. \)

[michaldaro]

Słuszna uwaga. Dziękuję.

[michaldaro]

Tak sobie podliczam Michała, ponieważ dla tego przykładu widzę największą rozbieżność i nawet jak będę zaokrąglał do 2 miejsc po przecinku to nadal mi nie wychodzi po zsumowaniu 100%. Coś nadal jest źle, ale nie wiem co . Proszę o pomoc.

Michał 30%

P(M,1)=0,3(30%)
\(P(M,2)=0,4\frac{0,3}{1-0,4}+0,2\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\frac{0,3}{1-0,1}=0,4\frac{0,3}{0,6}+0,2\frac{0,3}{0,8}+0,1\frac{0,3}{0,9}=0,2+0,075+0,033=0,308=\\ \qquad=0,31\)
(31%)
\(P(M,3)=0,4\frac{0,31}{1-0,4}+0,2\frac{0,31}{1-0,2}+0,1\frac{0,31}{1-0,1}=0,4\frac{0,31}{0,6}+0,2\frac{0,31}{0,8}+0,1\frac{0,31}{0,9}=0,2066+0,0775+0,034=\\ \qquad =0,3181=0,32\)
(32%)
\(P(M,4)=0,4\frac{0,32}{1-0,4}+0,2\frac{0,32}{1-0,2}+0,1\frac{0,32}{1-0,1}=0,4\frac{0,32}{0,6}+0,2\frac{0,32}{0,8}+0,1\frac{0,32}{0,9}=0,2133+0,08+0,035=\\ \qquad=0,3283=0,33\)
(33%)


Tak powinno być : Michał =P(M,1)+P(M,2)+P(M,3)+P(M,4) =100%
A u mnie jest tak: Michał =30%+31%+32%+33% =126%

Dlaczego to tak wychodzi? Obojętnie jak będę zaokrąglał i tak jest bardzo duża rozbieżność dla tego przypadku.

[janusz55]

Źle zostały zinterpretowane wartości prawdopodobieństw obliczane tą metodą.

Pierwszy składnik sumy Michała jest prawdopodobieństwem zdarzenia, że Michał zajmie drugie miejsce , drugi składnik sumy jest prawdopodobieństwem, że Łukasz zajmie drugie miejsce itd.

[michaldaro]

"Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do 100%=1." Czy mógłby Pan mi pokazać w jaki sposób należy to zrobić dla Łukasza lub Michała? Ja niestety, ale nie wiem. Niestety też jeszcze nie wiem jak Panu wyszło 0,2841?
\(P(Ł,2)=0,4⋅\frac{0,2}{1-0,4}+0,3⋅\frac{0,2}{1-0,3}+0,1⋅\frac{0,2}{1-0,1}=0,4⋅\frac{0,2}{0,6}+0,3⋅\frac{0,2}{0,7}+0,1⋅\frac{0,2}{0,9}=0,1333+0,086+0,022=0,2413\)

[janusz55]

Suma prawdopodobieństw w wierszu jest łączną wartością prawdopodobieństwa zajęcia przez chłopców drugiego miejsca, a nie przez jednego chłopca.

[michaldaro]

Słuszna uwaga. Dziękuję.

[michaldaro]

"Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do 100%=1.". Mi zależy aby to zadanie od początku do końca było dobrze wykonane. Powtarzam ponownie obliczenia, biorąc pod uwagę Pana sugestię "Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności".

Andrzej 40%
P(A,1)=0,4(40%)
\[
P(A,2) = 0.3\cdot\frac{0,4}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,4}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,4}{1-0,1} = 0.3\cdot\frac{0,3}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,3}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,4}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,3\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,3\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,3\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,0864+0,0504+0,0224}{0,504}=\frac{0,1592}{0,504}=0,3159\]=32%
\[P(A,3)=0.3\cdot\frac{0,32}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,32}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,32}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,32}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,32}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,32}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,32\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,32\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,32\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,06912+0,04032+0,01792}{0,504}=\frac{0,12736}{0,504}=0,2526\] = 25%
\[P(A,4)=0.3\cdot\frac{0,25}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,25}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,25}{1-0,1}=0.3\cdot\frac{0,25}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,25}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,25}{0,9}=\frac{0,3\cdot0,25\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,25\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,25\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,054+0,0315+0,014}{0,504}=\frac{0,0995}{0,504}=0,1974\] = 20%

Michał 30%
P(M,1)=0,3(30%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,3}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\cdot\frac{0,3}{1-0,1} = 0,4\cdot\frac{0,3}{0,6}+0.2\cdot\frac{0,3}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,3}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,3\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,3\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,3\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,0864+0,0324+0,0144}{0,432}=\frac{0,1332}{0,432}=0,308333\]=31%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,31}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,31}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,31}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,31}{0,6}+0,2\cdot\frac{0,31}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,31}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,31\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,31\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,31\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,08928+0,03348+0,01488}{0,432}=\frac{0,13764}{0,432}=0,318611\] = 32%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,32}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,32}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,32}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,32}{0,6}+0.2\cdot\frac{0,32}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,32}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,32\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,32\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,32\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,09216+0,03456+0,01536}{0,432}=\frac{0,14208}{0,432}=0,328889\] =33%

Łukasz 20%
P(M,1)=0,3(30%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,2}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,2}{1-0,2}+0,1\cdot\frac{0,2}{1-0,1} = 0,4\cdot\frac{0,2}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,2}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,2}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,2\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,0504+0,0324+0,0084}{0,378}=\frac{0,0912}{0,378}=0,241269841\]=24%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,24}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,24}{1-0,3}+0.1\cdot\frac{0,24}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,24}{0,6}+0,2\cdot\frac{0,24}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,24}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,24\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,24\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,24\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,06048+0,03888+0,01008}{0,378}=\frac{0,10944
}{0,378}=0,28952381\] = 29%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,29}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,29}{1-0,3}+0.1\cdot\frac{0,29}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,29}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,29}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,29}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,29\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,29\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,29\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,07308+0,04698+0,01218}{0,378}=\frac{0,13224
}{0,378}=0,34984127\] =35%

Bartek 10%
P(M,1)=0,1(10%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,1}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,1}{1-0,2}+0,2\cdot\frac{0,1}{1-0,2} = 0,4\cdot\frac{0,1}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,1}{0,7}+0,2\cdot\frac{0,1}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,1\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,1\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,0224+0,0144+0,0084}{0,336}=\frac{0,0452}{0,336}=0,13452381\]=13%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,13}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,13}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,13}{1-0,2}=0.4\cdot\frac{0,13}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,13}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,13}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,13\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,13\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,13\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,02912+0,01872+0,01092}{0,336}=\frac{0,05876
}{0,336}=0,174880952\] = 17%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,17}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,17}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,17}{1-0,2}=0.4\cdot\frac{0,17}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,17}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,17}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,17\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,17\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,17\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,03808+0,02448+0,01428}{0,336}=\frac{0,07684
}{0,336}=0,228690476\] =23%

Biorę teraz Pana założenia "Suma prawdopodobieństw w wierszu jest łączną wartością prawdopodobieństwa zajęcia przez chłopców drugiego miejsca, a nie przez jednego chłopca." i obliczam:
P(A,1)+P(M,1)+P(Ł,1)+P(A,1) powinno być 1 i jest 1 bo 0,4+0,3+0,2+0,1 =1
P(A,2)+P(M,2)+P(Ł,2)+P(A,2) powinno być 1 i jest 1 bo 0,32+0,31+0,24+0,13 =1
P(A,3)+P(M,3)+P(Ł,3)+P(A,3) powinno być 1 i jest rozbieżność bo 0,25+0,32+0,29+0,17 =1,03
P(A,4)+P(M,4)+P(Ł,4)+P(A,4) powinno być 1 i jest duża rozbieżność bo 0,2+0,33+0,35+0,23 =1,11

Jak to jest możliwe? że dla ostatniego i przedostatniego przypadku nie wychodzi 1? Czy teraz według Pana są dobrze zrealizowane obliczenia? Zaokrąglałem w nich tak jak Pan sugerował do 2 miejsc po przecinku. Dlaczego nadal źle wychodzi?

[janusz55]

To są już dużo lepsze obliczenia. Jest to możliwe. Te reszty setnych części biorą się z błędów zaokrągleń.

[michaldaro]

To jak to powinno wyglądać dla tej największej rozbieżności P(A,4)+P(M,4)+P(Ł,4)+P(A,4) żeby to wyszło 1? Czy mógłby Pan napisać jak to powinno wyglądać aby suma wyszła 1? Ja nie wiem gdzie ja źle tam zaokrągliłem skoro wszędzie robiłem tak samo obliczenia.

[janusz55]

To zrozumiałe że błąd zaokrągleń jest największy dla czwartego miejsca, które może zająć każdy z chłopców, bo kumulują się błędy zaokrągleń z miejsc drugiego i czwartego. Proszę jeszcze raz sprawdzić swoje obliczenia i zaokrąglić prawdopodobieństwa do rzędu jedności. Taka dokładność prawdopodobieństw zajęcia miejsc pierwszych była podana na początku w treści zadania.