Zadanie dla bardzo ambitnych

[michaldaro]

Mam takie zadanie, z którym nie mogę sobie poradzić. Pamiętam, że kiedyś był gdzieś taki wzór na obliczenie tego typu zadania, ale po prostu nie potrafię sobie tego przypomnieć. Proszę serdecznie o pomoc i rozwiązanie tego zadania:
W biegu startuje 4 zadowników. Prawdopodobieństwo, że zadownicy ukończą bieg na 1 miejscu znajdują się poniżej:
Andrzej 40%
Michał 30%
Łukasz 20%
Bartek 10%
W jaki sposób wyznaczyć prawdopodobieństwo, że Łukasz ukończy na 2 miejscu?

[korki_fizyka]

Ambitni jak poszukają, to tutaj znajdą rozwiązanie.

[michaldaro]

Wydaje mi się że należy tutaj wykorzystać wariację bez powtórzeń dla zbioru n=10 {Andrzej, Andrzej ,Andrzej ,Andrzej ,Michał ,Michał ,Michał, Łukasz ,Łukasz ,Bartek} bo Andrzej 40%, Michał 30%, Łukasz 20%, Bartek 10% i teraz kończą bieg na 4 miejscach to będzie 10!/6! =7*8*9*10 = 5040 . No i wyszło mi, że tyle jest kombinacji. Hmmmn, a teraz jak obliczyć, że spośród tych kombinacji Łukasz ukończy bieg na 2 miejscu? hmmmmn tego już nie wiem . Proszę o pomoc.

[janusz55]

Musisz rozpatrzyć możliwości kolejności chłopców na mecie z Łukaszem na drugim miejscu.

\( (A, Ł, M, B), \ \ (M, Ł, A, B), \ \ (B, Ł, M, A), \ \ (A, Ł, B, M), \ \ (B, Ł, A, M ), \ \ (M, Ł, B, A). \)

[michaldaro]

No ale jak to można wyliczyć matematycznie?

[michaldaro]

"Musisz rozpatrzyć możliwości kolejności chłopców na mecie z Łukaszem na drugim miejscu.

(A,Ł,M,B), (M,Ł,A,B), (B,Ł,M,A), (A,Ł,B,M), (B,Ł,A,M), (M,Ł,B,A)." Wydaje mi się że takie rozpatrzenie to tylko przy założeniu ze każdy z zawodników ma 25% szans na zdobycie pierwszego miejsca. W przypadku kiedy A ma 40%,M ma 30%,Ł ma 20% a B ma 10% to raczej chyba tak nie będzie....

[janusz55]

Wartości prawdopodobieństw pierwszych miejsc każdej uporządkowanej czwórki znamy z treści zadania.

Pozostało obliczenie wartość iloczynów prawdopodobieństw dla pozostałych trzech miejsc każdej czwórki.

Zakładamy, że każdy z trzech pozostałych chłopców ma taką samą szansę zajęcia drugiego trzeciego i czwartego miejsca.

Na przykład

\( P(A, Ł, M, B) = P(A)\cdot P(Ł> M| Ł > B)= P(A) \cdot \frac{P(Ł >M \cap Ł > B)}{P(Ł> B)} =...\)

[michaldaro]

Janusz55 proszę czy mógłbyś na liczbach obliczyć prawdopodobieństwo, że Łukasz uzyska 2 miejsce. Wzór już napisałeś, ale niestety nie wiem jak należy powstawiać liczby i to obliczyć. Bardzo proszę.

[michaldaro]

Chociaż ten jeden przykład proszę, żebym załapał w jaki sposób to należy obliczać dla pozostały przykładów.

[janusz55]

\( P(A, Ł, M, B) = P(A)\cdot P(Ł> M| Ł > B)= P(A) \cdot \frac{P(Ł >M \cap Ł > B)}{P(Ł> B)} = \frac{4}{10} \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{10}\cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{30}. \)

[michaldaro]

Jeszcze bym prosił o sprawdzenie czy ja dobrze obliczam dla poniższych przypadków:
Bartek ukończy bieg na 2 miejscu: P(A,Ł,M,B)=P(A)*P(B>M∩B>Ł)=4/10 * 1/3 = 14/30 ?
Andrzej ukończy bieg na 2 miejscu: P(A,Ł,M,B)=P(B)*P(A>Ł∩A>B)=3/10 *1/3= 13/30 ?

[janusz55]

Michaldaro
Zapisz równania w edytorze \( \LaTeX \). Samouczek jest na forum.

[michaldaro]

Jeszcze bym prosił o sprawdzenie czy ja dobrze obliczam dla poniższych przypadków:

Bartek ukończy bieg na 2 miejscu:\(P(A,Ł,M,B)=P(A)P(B>M∩B>Ł)=\frac{4}{10}\frac{1}{3}= \frac{14}{30}\)?
Andrzej ukończy bieg na 2 miejscu: \(P(A,Ł,M,B) = P(B)P(A>Ł∩A>B) =\frac{3}{10}\frac{1}{3} = \frac{13}{30} \)?

[janusz55]

Michaldero

Nie chce Ci się do końca porządnie zapisać treści obliczeń.

Interesuje nas tylko prawdopodobieństwo zajęcia drugiego miejsca przez Łukasza.

\( P(Ł, 2) = \sum_{i\neq j} P_{j}\cdot \frac{P(Ł,1)}{ (1- P_{j})}\)

\( P(Ł, 2) = 0,4\cdot \frac{0,2}{1 -0,4} + 0,3\cdot \frac{0,2}{1 -0,3} + 0,1\cdot \frac{0,2}{1 -0,1} = 0,4\cdot \frac{0,2}{0,6} + 0,3\cdot \frac{0,2}{0,7} + 0,1\cdot \frac{0,2}{0,9} = 0,2841 \)

Octave 6.4.1

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                                     
>> 0.4*0.2/0.6 + 0.3*0.3/0.7 + 0.1*0.2/0.9
ans = 0.2841                                                                                                                                   

[michaldaro]

Proszę Pana, dziękuję bardzo, że Pan mi napisał rozwiązanie dla tego przykładu, nie mniej jednak to jeszcze nie rozwiązuje mojego problemu. Prosiłbym np. o rozwiązanie w jaki sposób mógłbym obliczyć, że Łukasz zajmie 3 miejsce. "Nie chce Ci się do końca porządnie zapisać treści obliczeń." Prawda jest taka, że nie napisałem tego wzoru nie wynika z mojego lenistwa tylko nie wiedziałem, że tutaj akurat się wykorzystuje ten wzór. Czy mógłby mi Pan jeszcze pomóc i napisać w jaki sposób mógłbym obliczyć prawdopodobieństwo że np: Łukasz uzyska miejsce 3? Nie wiem co się zmieni w tym wzorze i w tym rozwiązaniu które Pan rozpisał dla 3 miejsca dla Łukasza?