Pewien ogrodnik twierdzi, że jego dynie mają średnią wagę 12 kg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pewien ogrodnik twierdzi, że jego dynie mają średnią wagę 12 kg
Pewien ogrodnik twierdzi, że jego dynie mają średnią wagę 12 kg. Wybrano losowo 10 dyń i uzyskano wagi: 10, 18, 14, 10, 14, 8, 12, 13, 7, 10. Zweryfikuj na poziomie istotności \(\alpha = 0,05\) hipotezę dwustronną I odpowiednią hipotezę jednostronną .
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Pewien ogrodnik twierdzi, że jego dynie mają średnią wagę 12 kg
\(n=10,\quad \kre{x}=11,6,\quad s=3,27\) (średnia i odchylenie standardowe - Excelem)
Próba jest mała, więc korzystamy z rozkładu t-studenta
\(H_0: m_0=12\)
Liczba stopni swobody: 10-1=9
\(\alpha=0,05 \So t_{\alpha/2}=2,26\) dla testu dwustronnego (\(H_1: m_0\neq12)\\
W=(-\infty,-2,26] \cup [2,26,+\infty) \)
\(\alpha=0,05 \So t_{1-\alpha}=-1,83\) dla testu lewostronnego (\(H_1: m_0<12)\\ W=(-\infty,-1,83]\)
Statystyka testowa
\[t= \frac{\kre{x}-m_0}{s}\sqrt{n}= \frac{11,6-12}{3,27}\cdot \sqrt{10}= -0,387 \]
Obydwa testy świadczą, że ogrodnik ma rację.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1538
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Pewien ogrodnik twierdzi, że jego dynie mają średnią wagę 12 kg
Test średniej przy założeniu, że populacja ma rozkład normalny o nieznanym odchyleniu standardowym (próba mała \(n<30\))
a)
Hipotezy
\( H_{0}: \mu_{0} = 12 kg \)
\( H_{1}: \mu_{0} \neq 12 kg \)
Statystyka testowa
\( T = \frac{\overline{X} -\mu_{0}}{S} \sqrt{n-1} \)
Przy założeniu hipotezy zerowej statystyka ma rozkład t-Studenta o liczbieswobody \( \nu = n -1 \).
Wartość statystyki dla danych z próby obliczamy za pomocą programu R
R
Obszar krytyczny testu określamy, obliczając wartość kwantyla rozkładu t-Sudenta rzędu \( \alpha = 0.05 \) o \( \nu = 10 -1 = 9 \) stopniach swobody \( t_{0,05, 9}.\)
\( P(|t|\geq \alpha ) = \alpha \)
Z tablicy rozkładu t -Studenta otrzymujemy \( t_{0.05} = 2,262. \)
Wartość statystyki \( t \) obliczona z próby \( t = -1,09 < 2,262 = t_{0.05} \)
Nie ma potrzeby odrzucenia hipotezy zerowej, że waga dyni jest równa \( 12 kg \) i przyjęcia hipotezy alternatywnej, że jest różna od \( 12 kg.\)
b)
Hipotezy
\( H_{0}: \mu = 12 kg \)
\( H_{1}: \mu < 12 kg \)
Wartość statystyki \( t = -1,09 \) obliczona z próby jest większa od wartości krytycznej \( t_{0.05} = -2.62. \)
Nie ma więc też potrzeby odrzucenia hipotezy zerowej, że waga dyni jest równa \( 12 kg \) i przyjęcia hipotezy alternatywnej, że jest od \( 12 kg \) mniejsza.
a)
Hipotezy
\( H_{0}: \mu_{0} = 12 kg \)
\( H_{1}: \mu_{0} \neq 12 kg \)
Statystyka testowa
\( T = \frac{\overline{X} -\mu_{0}}{S} \sqrt{n-1} \)
Przy założeniu hipotezy zerowej statystyka ma rozkład t-Studenta o liczbieswobody \( \nu = n -1 \).
Wartość statystyki dla danych z próby obliczamy za pomocą programu R
R
Kod: Zaznacz cały
> waga<-c(10,18,14,10,14,8,12,13,7,10)
> X = mean(waga)
> X
[1] 11.6
> S = sd(waga)
> S
[1] 3.272783
> t = ((11.6 -12)/3.3)*9
> t
[1] -1.090909
\( P(|t|\geq \alpha ) = \alpha \)
Z tablicy rozkładu t -Studenta otrzymujemy \( t_{0.05} = 2,262. \)
Wartość statystyki \( t \) obliczona z próby \( t = -1,09 < 2,262 = t_{0.05} \)
Nie ma potrzeby odrzucenia hipotezy zerowej, że waga dyni jest równa \( 12 kg \) i przyjęcia hipotezy alternatywnej, że jest różna od \( 12 kg.\)
b)
Hipotezy
\( H_{0}: \mu = 12 kg \)
\( H_{1}: \mu < 12 kg \)
Wartość statystyki \( t = -1,09 \) obliczona z próby jest większa od wartości krytycznej \( t_{0.05} = -2.62. \)
Nie ma więc też potrzeby odrzucenia hipotezy zerowej, że waga dyni jest równa \( 12 kg \) i przyjęcia hipotezy alternatywnej, że jest od \( 12 kg \) mniejsza.