Estymacja przedziałowa

[raflo33]

W badaniach budżetów gospodarstw domowych w pewnym roku zbadano wylosowane 632 gospodarstwa i otrzymano z tej próby m.in. następujące informacje: średnia miesięczna wydatków na żywność w przeliczeniu na osobę wynosiła 597 zł, a odchylenie standardowe równe 94,4 zł. Przyjmując poziom ufności 0,95, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego wydatków na żywność.

[panb]

W badaniach budżetów gospodarstw domowych w pewnym roku zbadano wylosowane 632 gospodarstwa i otrzymano z tej próby m.in. następujące informacje: średnia miesięczna wydatków na żywność w przeliczeniu na osobę wynosiła 597 zł, a odchylenie standardowe równe 94,4 zł. Przyjmując poziom ufności 0,95, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego wydatków na żywność.

Ponieważ próba jest bardzo duża stosuje się wzór korzystający z rozkładu normalnego, a nie \(\chi^2\):
\[s-z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{2n}}<\sigma<s+z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{2n}} \]
Dla \(1-\alpha=0,95,\quad z_{\alpha/2}=1,95\)
\(n=632,\quad s=94,4\)

Po wstawieniu danych, otrzymujemy

Odpowiedź: \(89,2<\sigma<99,6\)

[janusz55]

Przedział ufności dla odchylenia standardowego próba mała \( n< 30.\)

\( Pr\left( S\sqrt{\frac{n}{u_{2}}} \leq \sigma \leq S\sqrt{\frac{n}{u_{1}}}\right) = 1 - \alpha \)

Przedział ufności dla odchylenia standardowego próba duża

\(Pr\left (\frac{S\sqrt{2n}}{\sqrt{2n} + z_{\alpha}} \leq \sigma \leq \frac{S\sqrt{2n}}{\sqrt{2n} - z_{\alpha}} \right ) = 1 - \alpha \ \ (*)\)

Nas interesuje przedział ufności \( (*) \)

Pozostało obliczenie kwantyla standaryzowanego rozkładu normalnego \( z_{0.05} \) dla dwustronnego przedziału ufności

\( 1 -\frac{1}{2} \alpha = 1 - 0,025 = 0,975.\)

W tym celu posłużymy się programem R

Kod: Zaznacz cały

 u005 = qnorm(0.975)
> u005
[1] 1.959964

\( Pr \left (\frac{ 94,4\cdot \sqrt{2\cdot 632}}{\sqrt{2\cdot 632} + 1,96} \leq \sigma \leq \frac{94,4 \cdot \sqrt{2\cdot 632}}{\sqrt{2\cdot 632} - 1,96} \right ) = 0,95.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 > L =(94.4*sqrt(2*632))/(sqrt(2*632)+1.96)
L
[1] 89.46771

> P = (94.4*sqrt(2*632))/(sqrt(2*632)-1.96)
P
[1] 99.90785

\( Pr( 89, 5 \leq \sigma \leq 99,9 ) = 0,95. \)

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności

Z prawdopodobieństwem \( 0,95 \) należy oczekiwać, że przedział o końcach \( 89,5 \) zł. \( 99,9 \) zł. należy do podzbioru takich przedziałów ufności, które pokryją odchylenie standardowe wydatków na żywność budżetów gospodarstw domowych w pewnym roku, a nie tylko wylosowanych \( 632 \) gospodarstw.