Rozkład normalny

[raflo33]

Zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny \(N(5,3)\). Obliczyć
a) \(P(|X|>6,5)\)
b) \(s\), jeśli \(P(X>s) = 0,08\)

[panb]

Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5,3). Obliczyć
a) P(|X|>6,5)
b) s, jeśli P(X>s) = 0,08

Tablice rozkładu normalnego

1. \(P(|X|>6,5)=1-P(|X|\le6,5)=1-P(-6,5\le X \le 6,5)=1-P \left( \frac{-6,5-5}{3} \le \frac{X-5}{3} \le \frac{6,5-5}{3} \right)= \\
   
   =1- P(-3,83\le U \le 0,5)=1-(\Phi(0,5)-\Phi(-3,83))=1-\Phi(0,5)+(1-\Phi(3,83))=\\=2-\Phi(0,5)-\Phi(3,83)=0,3086 \)
2. \(P(X>s)=0,08 \iff 1-P(X\le s)=0,08 \iff P(X\le s)=1-0,08 \iff P \left( \frac{X-5}{3}\le \frac{s-5}{3} \right)=0,92\\
   \Phi \left( \frac{s-5}{3} \right)=0,92 \So\frac{s-5}{3}=1,41 \So s= 9,23 \)

[janusz55]

a)
\( X \sim \mathcal{N}(5,3) \)

\( P(|X|> 6,5) = P( X < -6,5) + P(X > 6,5) = 1 - P(X \leq 6,5) + 1 - P(X \leq 6,5) = 2 -2 P(X\leq 6,5)\) standaryzacja
\( = 2 - 2P( Z \leq \frac{6,5- 5}{3}) \approx 2 - 2P( Z\leq 0,3) = 2 - 2\phi(0,3) \approx 0,76 \)

Program R (lub tablica dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego)

Kod: Zaznacz cały

P = 2 -2*pnorm(0.3)
 P
[1] 0.7641772

b)

\( P( X > s ) = 0,08 \)

\( 1 - P(X\leq s) = 0,08 \)

\( P \left ( Z \leq \frac{s -5 }{3} \right) = 0,92 \)

\( \frac{s -m }{3} = \phi^{-1}(0,92) \approx 1,4 \)

R

Kod: Zaznacz cały

> qnorm(0.92)
[1] 1.405072

\( s -5 = 4,2\)

\( s = 9,2.\)

[janusz55]

\( P(|X|>6,5) = 1 - P( |X|\leq 6,5) = 1 - P( -6.5 \leq X \leq 6,5) = 1 - [P(X\leq 6,5) - P(X \leq - 6,5)] =\)

\( = 1 - [ P(X\leq 6,5) -1 + P(X\leq 6,5) ] = 2 - 2 P(X\leq 6,5) = 2 - 2P(Z \leq 0,3 ) \approx 0,76.\)