Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów?
\(|Ω | = 9 ⋅6 = 54 \)
lecz nie wiem jak rozpisać moc zbioru \(A\)
Prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Prawdopodobieństwo
Lepiej 1- prawdopodobieństwo takich samych.m4rc3ll pisze: ↑19 sty 2021, 13:23 Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów?
\(|Ω | = 9 ⋅6 = 54 \)
lecz nie wiem jak rozpisać moc zbioru \(A\)
\(1-P(B_1 \cap B_2)-P(C_1 \cap C_2)-P(Z_1 \cap Z_2)\)
P.S. Wyszło mi \( \frac{35}{54} \)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, 15:30 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; \cap
Powód: poprawa kodu; \cap
Re: Prawdopodobieństwo
Przedstawił by mi pan słowa interpretacje? Rozumiem, że jest to zdarzenie przeciwne. Wynik oczywiście dobry
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Prawdopodobieństwo
B, C, Z - to kolory
1, 2 - to numery pudełek
\(\cap\) - znaczy "i"
P(X) - prawdopodobieństwo zdarzenia X
a taki kciuk w górę, to wyraz podziękowania
1, 2 - to numery pudełek
\(\cap\) - znaczy "i"
P(X) - prawdopodobieństwo zdarzenia X
a taki kciuk w górę, to wyraz podziękowania -
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1541
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Prawdopodobieństwo
Doświadczenie losowe wynikające z treści zadania jest dwuetapowe
- losowanie kuli z pierwszego pojemnika - etap 1
- losowanie kuli z drugiego pojemnika - etap 2
Oznaczenia kul
\( b \) - kula biała
\( c \) - kula czarna
\( z \) - kula zielona
Zakładamy, że wszystkie losowania kul z każdego pojemnika są niezależne i jednakowo możliwe.
Doświadczeniu losowemu odpowiadają dwie przestrzenie (dwa modele) probabilistyczne
\( (\Omega_{1}, \ \ 2^{\Omega_{1}}, \ \ P_{1}), \ \ (\Omega_{2}, \ \ 2^{\Omega_{2}}, \ \ P_{2}) \)
gdzie
\( \Omega_{1} = \{ b, b, b, b, c, c, c, z, z \} = \{ 4b, \ \ 3c, \ \ 2z\}. \)
\( 2^{\Omega_{1}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega_{1} \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych)
\( P_{1}(b) = \frac{4}{9}, \ \ P_{1}(c) = \frac{3}{9}, \ \ P_{1}(z) = \frac{2}{9} \) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{2}\)
\( \Omega_{2} = \{ b, b, c, c, c, z \} = \{ 2b, \ \ 3c, \ 1z\}. \)
\( 2^{\Omega_{2}} \)- klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega_{2} \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych).
\( P_{2}(b) = \frac{2}{6}, \ \ P_{2}(c) = \frac{3}{6}, \ \ P_{2}(z) = \frac{1}{6} \) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{2}. \)
Model łączny - dwuetapowy
\( (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P ) \)
\( \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ ( k_{1}, k_{2}): \ \ (k_{1}, k_{2}) \in \{4b, 3c, 2z\}\times \{2b, 3c, 1z \}\}.\)
\( 2^{\Omega} = 2^{\Omega_{1}\times \Omega_{2}} \) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych)
\( P( \{b, b\}) = P_{1}(b)\cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{54}, \)
\( P(\{b, c\}) = P_{1}(b)\cdot P_{2}(c) + P_{1}(c)\cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{18}{54},\)
\( P(\{b, z\}) = P_{1}(b) \cdot P_{2}(z) + P_{1}(z) \cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{6} +\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{54}, \)
\( P(\{c, z\}) = P_{1}(c)\cdot P_{2}(z) + P_{1}(z) \cdot P_{2}(c) = \frac{3}{9}\cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{9}\cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{54}, \)
\( P(\{ c, c\}) = P_{1}(c) \cdot P_{2}(c) = \frac{3}{9}\cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{54}, \)
\( P(\{z, z\}) = P_{1}(z)\cdot P_{2}(z) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{54}.\)
\( R \) - zdarzenie " wylosowano parę kul różnokolorowych".
\( P(R) = P(\{b,c\}) + P(\{b,z\}) + P(\{c,z\}) = \frac{18}{54} + \frac{8}{54} + \frac{9}{54} = \frac{35}{54}.\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać że w około \( 65\% \) ogólnej liczby wyników - otrzymamy parę kul różnokolorowych.
- losowanie kuli z pierwszego pojemnika - etap 1
- losowanie kuli z drugiego pojemnika - etap 2
Oznaczenia kul
\( b \) - kula biała
\( c \) - kula czarna
\( z \) - kula zielona
Zakładamy, że wszystkie losowania kul z każdego pojemnika są niezależne i jednakowo możliwe.
Doświadczeniu losowemu odpowiadają dwie przestrzenie (dwa modele) probabilistyczne
\( (\Omega_{1}, \ \ 2^{\Omega_{1}}, \ \ P_{1}), \ \ (\Omega_{2}, \ \ 2^{\Omega_{2}}, \ \ P_{2}) \)
gdzie
\( \Omega_{1} = \{ b, b, b, b, c, c, c, z, z \} = \{ 4b, \ \ 3c, \ \ 2z\}. \)
\( 2^{\Omega_{1}}\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega_{1} \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych)
\( P_{1}(b) = \frac{4}{9}, \ \ P_{1}(c) = \frac{3}{9}, \ \ P_{1}(z) = \frac{2}{9} \) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{2}\)
\( \Omega_{2} = \{ b, b, c, c, c, z \} = \{ 2b, \ \ 3c, \ 1z\}. \)
\( 2^{\Omega_{2}} \)- klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega_{2} \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych).
\( P_{2}(b) = \frac{2}{6}, \ \ P_{2}(c) = \frac{3}{6}, \ \ P_{2}(z) = \frac{1}{6} \) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega_{2}. \)
Model łączny - dwuetapowy
\( (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P ) \)
\( \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \{ ( k_{1}, k_{2}): \ \ (k_{1}, k_{2}) \in \{4b, 3c, 2z\}\times \{2b, 3c, 1z \}\}.\)
\( 2^{\Omega} = 2^{\Omega_{1}\times \Omega_{2}} \) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega \) łącznie ze zdarzeniami niemożliwym i pewnym ( klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych)
\( P( \{b, b\}) = P_{1}(b)\cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{54}, \)
\( P(\{b, c\}) = P_{1}(b)\cdot P_{2}(c) + P_{1}(c)\cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{18}{54},\)
\( P(\{b, z\}) = P_{1}(b) \cdot P_{2}(z) + P_{1}(z) \cdot P_{2}(b) = \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{6} +\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{8}{54}, \)
\( P(\{c, z\}) = P_{1}(c)\cdot P_{2}(z) + P_{1}(z) \cdot P_{2}(c) = \frac{3}{9}\cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{9}\cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{54}, \)
\( P(\{ c, c\}) = P_{1}(c) \cdot P_{2}(c) = \frac{3}{9}\cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{54}, \)
\( P(\{z, z\}) = P_{1}(z)\cdot P_{2}(z) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{54}.\)
\( R \) - zdarzenie " wylosowano parę kul różnokolorowych".
\( P(R) = P(\{b,c\}) + P(\{b,z\}) + P(\{c,z\}) = \frac{18}{54} + \frac{8}{54} + \frac{9}{54} = \frac{35}{54}.\)
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać że w około \( 65\% \) ogólnej liczby wyników - otrzymamy parę kul różnokolorowych.
