rachunek prawdopodobieńswa - zadania

[Mikson1205]

Cześć mam problem z paroma zadaniami. Czy ktoś mógłby pomóc mi je rozwiązać?
1. Wiadomo, że \(P(Y=1|X=5) = \frac{1}{3} \) oraz \(P(Y=5|X=5) = \frac{2}{3} \) . Oblicz \(E(Y|X=5)\) i \( E(XY^{2} | X=5) \) .

2. W urnie znajdują się dwie białe kule, z numerami 1 i 2 oraz trzy czarne kule z numerami 1,2 i 3. Z urny wyciągnięto bez zwracania dwie kule. Niech \(X\) oznacza największy z wylosowanych numerów, a \(Y\) oznacza liczbę wylosowanych białych kul. Oblicz \(E(Y|X)\) oraz \(E(X|Y)\).

3. Rzucono trzy razy monetą. Niech \(X\) oznacza łączną liczbę wyrzuconych orłów oraz:
\(
Y=\begin{cases}
1&\text{jeśli w ostatnim rzucie wypadł orzeł }\\
0&\text{jeśli w ostatnim rzucie wypadła reszka }
\end{cases}
\)
Oblicz \(E(X|Y)\) oraz \(E(XY|X)\).

4. Zmienna losowa \((X,Y)\) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach \((2,0), (0,1)\) i \(( -1,0)\). Oblicz \(E(X|Y)\) i \( E(X^2+XY|Y) \) .

5. Zmienna losowa \((X,Y)\) ma rozkład z gęstością \( g(x,y) = (x+y)1 \{ 0 \le x \le 1 , 0 \le y \le 1 \}\)
Oblicz \(E(X|Y)\) i \(E(\sin X+Y|Y)\).