Prawdopodobienstwo(urna, monety))

[amf3tam1nz]

W urnie są cztery monety, 1 zł, 2 zł i dwa
razy 5 zł. Losujemy jedną, jeśli wypadła złotówka,
to jeszcze raz, a jeśli tym razem 5 zł, to jedną z już
wylosowanych, przypadkową, zwracamy. Zmienna losowa X określa liczbę otrzymanych monet, zmienna
Y określa wartość otrzymanych monet. Oblicz wartości oczekiwane obu zmiennych oraz wariancję X.
Czy zmienne te są niezależne? (uzasadnij).

[radagast]

rozkłady tych zmiennych:
\(X\sim \left\{ \left(2, \frac{1}{12} \right) ;\left(1, \frac{11}{12} \right) \right\} \)
\(Y\sim \left\{\left(1, \frac{1}{12} \right) ; \left(2, \frac{1}{4} \right) ;\left(3, \frac{1}{12} \right) ;\left(5, \frac{7}{12} \right) \right\} \)
zatem:
\(EX=2 \cdot \frac{1}{12}+1 \cdot \frac{11}{12} = \frac{3}{12}= \frac{1}{4} \)

\(X^2\sim \left\{ \left(4, \frac{1}{12} \right) ;\left(1, \frac{11}{12} \right) \right\} \)
\(EX^2=4 \cdot \frac{1}{12}+1 \cdot \frac{11}{12} = \frac{15}{12}= \frac{5}{4} \)
\(E^2X= \frac{1}{16} \)
\(D^2X=EX^2-E^2X=\frac{5}{4}- \frac{1}{16}= \frac{19}{16} \)

\(EY i D^2Y\)-analogicznie