Dwa różne algorytmy służące do przeszukiwania bazy danych przetestowano dziewięciokrotnie na tych samych zbiorach danych i uzyskano następujące czasy w sekundach: Pierwszy algorytm: 14, 17, 34, 13, 11, 9, 21, 21, 17.Drugi algorytm: 55, 53, 8, 11, 11, 53, 35, 28, 11. Czy na poziomie istotności 0.05 należy odrzucić hipotezę, że oba algorytmy mają podobny rozkład?
Producent żarówek twierdzi, że czas pracy jego żarówki wynosi co najmniej 300 godzin. Przebadano 200 żarówek i uzyskano średni czas pracy 298 godzin i odchylenie standardowe 16 godzin. Na poziomie istotnościα= 0.10sprawdź czy producent ma rację.
potrzebują pomocy w tych dwóch zadaniach
Hipoteza/Prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1539
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Hipoteza/Prawdopodobieństwo
Zadanie 1
Test jednorodności \( \chi^2 \)- Pearsona
Hipotezy:
\( H_{0}: F_{1}(x) = F_{2}(x)\)
\( H_{1}: F_{1}(x) \neq F_{2}(x) \)
Statystyka testowa
\( \chi^2 = \frac{(n_{1} + n_{2})^2}{n_{1}\cdot n_{2}}\left [ \sum_{i}\frac{n^2_{1i}}{n_{1i}+n_{2i}} - \frac{n^2_{1}}{n_{1}+n_{2}}\right] \)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład \( \chi^2 \) z \( \nu = k-1 \) stopniami swobody.
Wartość statystyki dla danych z próby
\(\left [ \begin{matrix}
n_{1i} & n_{2i} & n_{1i} +n_{2i} & n^2_{1i} & \frac{n^2_{1i}}{n_{1i} + n_{2i}}\\
14 & 55 & 69 & 196 & 2,840 \\
17 & 53 & 70 & 289 & 4,129 \\
34 & 8 & 42 & 1156 & 27,524 \\
13 & 11 & 24 & 169 & 7,042 \\
11 & 11 & 22 & 121 & 55,000 \\
9 & 53 & 62 & 81 & 1,306 \\
21 & 35 & 56 & 441 & 7,875 \\
21 & 28 & 49 & 441 & 9,000 \\
17 & 11 & 28 & 289 & 10,321 \\
157 & 265 & 422 & x & 125,04 \\
\end{matrix} \right] \)
\( \chi^2 = \frac{(157 + 265)^2}{157\cdot 265} \left[ 125,04 - \frac{157^2}{422} \right] = 285,20. \)
Z tablicy rozkładu \( \chi^2 \) odczytujemy wartość krytyczną testu dla poziomu istotności \( \alpha = 0,05 \) i \( k -1 = 9 -1 = 8 \) stopni swobody
\( \chi^2(0,05, 9) = 16,919. \)
Wniosek
Statystyka obliczona z próby jest większa od wartości krytycznej, co przy prawostronnym obszarze krytycznym oznacza, że są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej.
Rozkłady algorytmów różnią się w sposób statystycznie istotny.
Test jednorodności \( \chi^2 \)- Pearsona
Hipotezy:
\( H_{0}: F_{1}(x) = F_{2}(x)\)
\( H_{1}: F_{1}(x) \neq F_{2}(x) \)
Statystyka testowa
\( \chi^2 = \frac{(n_{1} + n_{2})^2}{n_{1}\cdot n_{2}}\left [ \sum_{i}\frac{n^2_{1i}}{n_{1i}+n_{2i}} - \frac{n^2_{1}}{n_{1}+n_{2}}\right] \)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład \( \chi^2 \) z \( \nu = k-1 \) stopniami swobody.
Wartość statystyki dla danych z próby
\(\left [ \begin{matrix}
n_{1i} & n_{2i} & n_{1i} +n_{2i} & n^2_{1i} & \frac{n^2_{1i}}{n_{1i} + n_{2i}}\\
14 & 55 & 69 & 196 & 2,840 \\
17 & 53 & 70 & 289 & 4,129 \\
34 & 8 & 42 & 1156 & 27,524 \\
13 & 11 & 24 & 169 & 7,042 \\
11 & 11 & 22 & 121 & 55,000 \\
9 & 53 & 62 & 81 & 1,306 \\
21 & 35 & 56 & 441 & 7,875 \\
21 & 28 & 49 & 441 & 9,000 \\
17 & 11 & 28 & 289 & 10,321 \\
157 & 265 & 422 & x & 125,04 \\
\end{matrix} \right] \)
\( \chi^2 = \frac{(157 + 265)^2}{157\cdot 265} \left[ 125,04 - \frac{157^2}{422} \right] = 285,20. \)
Z tablicy rozkładu \( \chi^2 \) odczytujemy wartość krytyczną testu dla poziomu istotności \( \alpha = 0,05 \) i \( k -1 = 9 -1 = 8 \) stopni swobody
\( \chi^2(0,05, 9) = 16,919. \)
Wniosek
Statystyka obliczona z próby jest większa od wartości krytycznej, co przy prawostronnym obszarze krytycznym oznacza, że są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej.
Rozkłady algorytmów różnią się w sposób statystycznie istotny.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1539
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Hipoteza/Prawdopodobieństwo
Zadanie 2
Test średniej (duża próba, rozkład populacji nieznany)
Hipotezy
\( H_{0} : m_{0} = 300 \ \ h \)
\( H_{1}: m_{0} \geq 300 \ \ h\)
Statystyka testowa
\( Z_{n} = \frac{\overline{X}_{n} - m_{0}}{S_{n}}\sqrt{n} \)
Statystyka ma asymptotyczny rozkład normalny \( N(0, 1). \)
Wartość statystyki dla danych z próby
\( z_{200} = \frac{298 - 300}{16}\sqrt{200} = -1,7678 \)
Zbiór krytyczny testu
\( P(|z| < z_{0.10} ) = 1 -0,10 = 0, 90 \)
\( z_{0,10} = 1,28 \)
\( \mathcal{K} = \langle 1,28 , \ \ \infty ) \)
Decyzja
\( z_{200} = -1,768 \notin \mathcal{K} = \langle 1,28 , \ \ \infty ) \)
Hipotezę zerową odrzucamy. Przyjmujemy hipotezę alternatywną. Producent żarówek ma rację, twierdząc, że średni czas pracy jego żarówek jest większy od \( 300 \) godzin.
Test średniej (duża próba, rozkład populacji nieznany)
Hipotezy
\( H_{0} : m_{0} = 300 \ \ h \)
\( H_{1}: m_{0} \geq 300 \ \ h\)
Statystyka testowa
\( Z_{n} = \frac{\overline{X}_{n} - m_{0}}{S_{n}}\sqrt{n} \)
Statystyka ma asymptotyczny rozkład normalny \( N(0, 1). \)
Wartość statystyki dla danych z próby
\( z_{200} = \frac{298 - 300}{16}\sqrt{200} = -1,7678 \)
Zbiór krytyczny testu
\( P(|z| < z_{0.10} ) = 1 -0,10 = 0, 90 \)
\( z_{0,10} = 1,28 \)
\( \mathcal{K} = \langle 1,28 , \ \ \infty ) \)
Decyzja
\( z_{200} = -1,768 \notin \mathcal{K} = \langle 1,28 , \ \ \infty ) \)
Hipotezę zerową odrzucamy. Przyjmujemy hipotezę alternatywną. Producent żarówek ma rację, twierdząc, że średni czas pracy jego żarówek jest większy od \( 300 \) godzin.