Stopnie swobody

[simp123]

Wyznaczyć minimalną liczebność próby służącej do oszacowania średniego wzrostu uczniów w klasach piątych szkół podstawowych, jeśli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów otrzymano następujące wyniki (w cm): 125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku 5 cm przy współczynniku ufności 0,95.

[panb]

Wyznaczyć minimalną liczebność próby służącej do oszacowania średniego wzrostu uczniów w klasach piątych szkół podstawowych, jeśli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów otrzymano następujące wyniki (w cm): 125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku 5 cm przy współczynniku ufności 0,95.

Wzór mówi, że \[n\ge t^2_{\frac{\alpha}{2} } \frac{s^2}{d^2} \]
n – liczebność próby
\(s^2\) – wariancja rozkładu z próby
d – maksymalny błąd pomiaru
\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) to wartość odczytana z tablic rozkładu t-studenta dla współczynnika ufności \(1-\alpha=0,95 \So \alpha=0,05\)
z \(10-1=9\) stopniami swobody. Tutaj \(t_{\frac{\alpha}{2}}=2,2622\)
Trzeba niestety boleśnie policzyć \(\displaystyle s^2= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10}(x_i-\kre{x})^2, \text{ gdzie }\,\,\kre{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10}x_i \)

Można liczyć na piechotę albo Excelem.
Oto wyniki:

tabelka.png (2.75 KiB) Przejrzano 1088 razy

Wstawiając do wzoru będzie \[n_{min}=2,26^2\cdot \frac{151}{5^2}= 31\]

[janusz55]

\( n = \frac{t^2_{0,05, 9}\cdot s^2}{d^2} \)

Obliczamy wariancję z próby \( s^2 \) i kwantyl rzędu \( 0,05 \) o \( 9 \) stopniach swobody rozkładu Studenta. \( t_{0,05, 9}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> wzrost<-c(125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135)
> s2= var(wzrost)
>s2
[1] 167.7778
>  talpha = qt(0.05, 9)
> talpha
[1] -1.833113

Podstawiamy dane liczbowe:

\( n = \frac{(-1,8)^2\cdot 168}{(5)^2} = 21,728 \approx 22. \)