kombinatoryka - w ilu słowach długości 2n...

[Fretkonur]

W ilu słowach długości 2n zbudowanych z n par jednakowych liter żadne dwie jednakowe litery nie stoją obok siebie?

Wiem, że odpowiedz powinna wynosić \( \sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n \choose k} \frac{(2n-k)!}{(2!)^(n-k) } \) ale problem w tym, że nie wiem skąd to się bierze.
Domyślam się, że należy skorzystać z zasady włączania i wyłączania, a w tym ze wzoru
\(|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n|=\) \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k S_k\) gdzie
\(S_k =\) \( \sum_{{i_1,...,i_k}}^{} \) \(|A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k}|\)
\(I={1,2,...n}\), \( A_1, A_2,...,A_n\) - dowolne skończone zbiory, \({i_1,...,i_k}\) - zestaw różnych indeksów występujących w sumie dokładnie jeden raz.
Czy w takim razie \(S_k =\) \({n \choose k} \frac{(2n-k)!}{(2!)^(n-k)}\) ? Czy ktoś może mi powiedzieć dlaczego tak będzie lub nie i skąd to się bierze, jak można to wyprowadzić?
Z góry dzięki za pomoc.