Szeregi czasowe

[Mykola]

Poddano analizie dane dotyczące branży farmaceutycznej w UE (wartość produkcji w mld EUR) w latach
2011-2017
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} ti &2011& 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017\\
\hline
yi &207,9& 206,5 & 214,0 & 230,2& 260,0 & 260,2 & 265,9\end{array} \)

a) Wyznacz liniową funkcję trendu, zinterpretuj współczynnik trendu.
b) Czy trend liniowy dobrze opisuje kształtowanie się wartości produkcji farmaceutycznej w badanym
okresie?
c) Oblicz prognozę wartości produkcji w branży farmaceutycznej na rok 2018 i 2020.

[grdv10]

Funkcja trendu to prosta regresji liniowej \(y\) w zależności od \(t\). Prognozy wyznaczamy w oparciu o jej równanie.

[panb]

Poddano analizie dane dotyczące branży farmaceutycznej w UE (wartość produkcji w mld EUR) w latach
2011-2017
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} ti &2011& 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017\\
\hline
yi &207,9& 206,5 & 214,0 & 230,2& 260,0 & 260,2 & 265,9\end{array} \)

a) Wyznacz liniową funkcję trendu, zinterpretuj współczynnik trendu.

To niechęć do liczenia (potocznie zwana lenistwem), czy są jakieś obiektywne przyczyny, dla których nie odpalasz Excela i nie wklepujesz danych?

rys1.png (7.12 KiB) Przejrzano 1188 razy

Objaśnienie:

• czerwone liczby to sumy danych z kolumny
• Współczynniki a i b linii trendu \(\hat{y}=a+bt\) liczone ze wzorów:
  \[b= \frac{n \sum_{i=1}^{n}y_it_i-\sum_{i=1}^{n}y_i \cdot \sum_{i=1}^{n}t_i }{n\sum_{i=1}^{n}t_i^2- \left( \sum_{i=1}^{n}t_i\right)^2 } \\ a= \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i-b\sum_{i=1}^{n}t_i}{n} \]

W zadaniu n=7 (liczba okresów) i wzór linii trendu ma postać \(\hat{y}=188,19+11,69t\)
Interpretacja: Wartość produkcji w latach 2011-2017 wzrastała średnio z roku na rok o €11,69 mld.

A oto ilustracja:

[panb]

Poddano analizie dane dotyczące branży farmaceutycznej w UE (wartość produkcji w mld EUR) w latach
2011-2017
\( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} ti &2011& 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 & 2017\\
\hline
yi &207,9& 206,5 & 214,0 & 230,2& 260,0 & 260,2 & 265,9\end{array} \)
b) Czy trend liniowy dobrze opisuje kształtowanie się wartości produkcji farmaceutycznej w badanym
okresie?

Żeby odpowiedzieć na to pytanie trzeba policzyć współczynnik zbieżności \(\varphi^2\), który wskazuje jaka część zmienności badanego zjawiska nie została wyjaśniona przez skonstruowaną funkcję trendu;
współczynnik przyjmuje wartości z przedziału <0,1>, przy czym uznaje się, że funkcja jest dobrze dopasowana do danych empirycznych, gdy współczynnik nie przekracza wartości 0,2.
Współczynnik ten liczy się ze wzoru:\[\varphi^2= \frac{ \sum_{i=1}^{n} (y_i-\hat{y}_{t_i})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i-\kre{y})^2} \]
gdzie n=7 liczba okresów,
\(y_i\) - dane dla okresu i,
\(\hat{y}_{t_i}\) - wartość obliczona z funkcji trendu dla i-tego okresu,
\(\kre{y}=234,96\) - średnia wartość igreków z tabeli

Oto policzone potrzebne wartości:

rys3.png (5.29 KiB) Przejrzano 1183 razy

Stąd \(\varphi^2= \frac{397,3}{3828,24}\approx 0,10 <0,20\), więc funkcja trendu jest dobrze dopasowana do danych empirycznych. Tylko 10% dochodów w latach 2011-2017 nie zostało wyjaśnione przez skonstruowaną funkcję trendu.