Zmienna losowa ciągła

[simp123]

Pracochłonność robotników odchyla się od przeciętnej pracochłonności średnio o 10 min/wyrób.
Pracochłonność większą od 50 minut ma 2,28% robotników. Oblicz, ile wynosi przeciętna
pracochłonność robotnika, jeśli zakłada się normalność rozkładu interesującej nas cechy
statystycznej.

[grdv10]

Przyjmujemy odchylenie standardowe \(\sigma=10\). Niech \(m\) będzie przeciętną pracochłonnością. Więc pracochłonność ma rozkład \(X\sim N(m,10)\). Wiemy też, że \(P(X>50)=0.0228.\) To już wystarczy do policzenia \(m\). Po standaryzacji zmienna losowa \(U=\dfrac{X-m}{\sigma}\) ma rozkład \(N(0,1)\). Tak więc\[P(X>50)=P\left(\frac{X-m}{10}>\frac{50-m}{10}\right)=P\left(U>\frac{50-m}{10}\right)=0.0228.\]Z własności dystrybuanty \(\Phi\) rozkładu \(N(0,1)\) mamy\[0.0228=P\left(U>\frac{50-m}{10}\right)=1-P\left(U<\frac{50-m}{10}\right)=1-\Phi\left(\frac{50-m}{10}\right),\]więc\[\Phi\left(\frac{50-m}{10}\right)=0.9772,\] dlatego w oparciu o tablice \(\Phi\) odczytujemy \(\dfrac{50-m}{10}=2,\) skąd już łatwo wyliczamy \(m=30\).

Odp. Przeciętna pracochłonność to 30 minut.