Testy parametryczne - Statystyka

[mafik]

Aby stwierdzić, że lekarstwo pomaga na chorobę X ponad 80% pacjentów powinno potwierdzić, że po jego zażyciu czuje poprawę. W badaniu podano ten lek 200 pacjentom. Wśród nich 170 stwierdziło, że czuje poprawę. Czy na podstawie tych danych na poziomie istotności 5% można stwierdzić, że lekarstwo jest skuteczne?

Mam problemy ze zrozumieniem jak takie zadania się robi i prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu. Wytłumaczenie też jest bardzo mile widziane!

[panb]

To jest przykład zadania na testowanie hipotezy dotyczącej frakcji.
\(H_0: p=0,8 \qquad H_1: p<0,8\)

Mamy próbę o rozmiarze \( n=200\), z czego 170 jest za , a 30 przeciw.
Frakcja za to \(\hat{p}= \frac{170}{200}=0,85\), a frakcja przeciw \(1-\hat{p}=0,15\).
Ponieważ \(n \cdot p=170>5\) oraz \(n \cdot q=30>5\) można uznać, że cecha ma rozkład normalny.

Obliczamy wartość krytyczną dla hipotezy \(H_1\). W tablicach rozkładu normalnego N(0,1) znajdujemy\( z_{\alpha}\) takie, że \(\Phi(z_{\alpha})=0,05. \) Zatem \(z_{0,05}=-1,64\)
Obliczamy wartość statystyki testowej wg wzoru \[z= \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{pq}}\sqrt n = \frac{0,85-0,8}{\sqrt{0,8 \cdot 0,2}}\sqrt{200}=1,77 \]
Ponieważ \(1,77>-1,64\), więc nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy \(H_0 \) na rzecz \(H_1\)

Wniosek: Nie możemy wykluczyć skuteczności lekarstwa.

[mafik]

Dziękuje bardzo!

[grdv10]

A dlaczego hipoteza alternatywna lewostronna? Przecież frakcja w próbie jest znacznie większa niż hipotetyczna. Trzeba przyjąć hipotezę alternatywną prawostronną!!! W związku z taką hipotezą każda statystyka testowa będzie większa niż minus kwantyl, więc te obliczenia nie są wiele warte! Trzeba to jeszcze raz przeliczyć!

Ponadto \(\Phi(u_{\alpha})=1-\dfrac{\alpha}{2}\), a nie \(1-\alpha\). Stosuję tu pewną alternatywną terminologię związaną z kwantylami.

Muszę to przeliczyć raz jeszcze.

Statystyka testowa jest policzona poprawnie.

Przyjmujemy hipotezę zerową \(H_0:p=0.8\) i alternatywną \(p>0.8.\) Obszar krytyczny (odrzucenia) dla takiej hipotezy charakteryzuje nierówność \(z>u_{2\alpha}\), gdzie \(\alpha\) to poziom istotności. Tak więc \(\Phi(u_{2\alpha})=1-\dfrac{2\alpha}{2}=1-\alpha=0.95.\) Istotnie, wtedy \(u_{2\alpha}=u_{0.10}=1.645\), skąd \(z=1.77>1.645= u_{2\alpha}\) i hipoetzę zerową należy odrzucić na rzecz hiporezy alternatywnej. Oznacza to, że więcej niż 80% pacjentów czuje poprawę, więc lekarstwo jest skuteczne.

Co ciekawe, przy takich danych jak tutaj, decyzja weryfikacyjna może się zmienić w zależności od sensownego poziomu istotności. Za sensowne statystycy uważają poziomy istotności od 1% do 10%. Jeśli kwantyl \(u_{2\alpha}\) będzie równy statystyce testowej 1.77, to odpowiadający mu poziomo \(\alpha\) nazywamy krytycznym poziomem istotności lub p-wartością. U nas ta p-wartość to ok. 3.8%. Dlatego na poziomie istotności 5% (dla wszystkich poziomów istotności powyżej 3.8%) mamy odrzucenie \(H_0\), zaś dla poziomów istotności poniżej 3.8% mamy brak podstaw do odrzucenia \(H_0\). Niestety, mało kto naucza o p-wartościach, a ich użycie jest rzetelniejszym sposobem prowadzenia badań statystycznych niż użycie jakiegoś arbitralnie wybranego poziomu istotności.

Sam poziom istotności jest prawdopodobieństwem odrzucenia hipotezy zerowej, która okazałaby się prawdziwa.

[panb]

A dlaczego hipoteza alternatywna lewostronna? Przecież frakcja w próbie jest znacznie większa niż hipotetyczna. Trzeba przyjąć hipotezę alternatywną prawostronną!!! W związku z taką hipotezą każda statystyka testowa będzie większa niż minus kwantyl, więc te obliczenia nie są wiele warte! Trzeba to jeszcze raz przeliczyć!

Ponadto \(\Phi(z_{\alpha})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).

\(1-\dfrac{\alpha}{2}\) stosuje się gdy hipoteza alternatywna jest postaci \(\neq\)

Mogła by być alternatywna w postaci \(p>0,8\), ale to na jedno wychodzi. Z treści zadania wynika, że jeśli okaże się, że \(p<0,8\), to lekarstwo jest do kitu. Uznałem, że to bardziej odpowiednie.
Co nam daje stwierdzenie, że p>0,8 nie można przyjąć? Chcielibyśmy, żeby było większe, no nie?
Takie było moje rozumowanie.

[grdv10]

Aby stwierdzić, że lekarstwo pomaga na chorobę X ponad 80% pacjentów powinno potwierdzić, że po jego zażyciu czuje poprawę.

Więc frakcją hipotetyczną jest 0.8. Jeśli frakcja będzie większa, lekarstwo zostanie uznane za skuteczne. Przemawia za tym prawdziwość prawostronnej hipotezy alternatywnej, a więc odrzucenie hipotezy zerowej. Nie zawsze teza, którą chcemy potwierdzić lub jej zaprzeczyć, jest związana z hipotezą zerową. To jest moje rozumowanie za przyjęciem prawostronnej hipotezy alternatywnej.

Przy hipotezie lewostronnej obszar odrzucenia charakteryzuje nierówność \(z<-u_{2\alpha}.\) W takich realiach, kiedy statystyka testowa jest dodatnia, wynik jest jeden - ta nierówność nigdy nie będzie spełniona i zawsze wyjdzie brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Zgadza się to z intuicją: jakże przyjąć hipotezę o mniejszości, skoro różnica jest dodatnia? Stąd przyjmowanie hipotezy lewostronnej uważam tu za błąd w metodzie.

[panb]

Wyobraź sobie, że nie byłoby podstaw do odrzucenia (jak tutaj). Czyli nie możemy stwierdzić, że p>0,8.
To nie cieszy! Chcielibyśmy, żeby było większe (czyli chcielibyśmy móc odrzucić zerową de facto i tak zresztą robisz).

[grdv10]

Nie ma ani cieszyć, ani nie cieszyć. Badanie statystyczne ma dostarczyć suchych faktów. Nie bada się po to, żeby wyszło tak jak chcemy.