probalistyka i statystyka

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
koleszka
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 25 mar 2010, 14:04
Podziękowania: 10 razy

probalistyka i statystyka

Post autor: koleszka »

W jednej urnie jest 4 kulki białe i 2 kulki czarne. W drugiej
urnie 3 kulki czerwone i 3 kulki niebieskie. Doświadczenie polega na
jednoczesnym losowaniu po jednej kulce z obu urn.
a) Opisz zbiór \Omega
b) Ile elementów ma zbiór zdarzeń losowych.
c) Wyznacz prawdopodobieństwo
każdego zdarzenia losowego z punktu a).
d) Umawiamy
się, że za wylosowanie kulki białej otrzymuje się 12 złotych, kulki
czarnej 15 złotych, kulki czerwonej 14 złotych i kulki niebieskiej 16
złotych. Wyznacz zmienną losową określoną na \Omega
przez powyższe
zasady.
e) Oblicz wartość oczekiwaną powyższej zmiennej losowej.
f) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe powyższej zmiennej.

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania albo podesłania stronki z rozwiązanym zadaniem
pozdrawiam
koleszka
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 25 mar 2010, 14:04
Podziękowania: 10 razy

Post autor: koleszka »

3. Wiemy, że 13.9% zapałek jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że w pudełku z 90 zapałkami są więcej niż 2 wadliwe?

4. Zmienna losowa X ma rozkład P(X = −7) = 2/9 , P(X = −2) = 1/9 , P(X = 2) = 5/9 , P(X = 9) = 1/9 . Oblicz E(X), E(X2), P(X>−4) oraz P(X< 3)

5. Rzucamy 6000 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
orzeł pojawi się więcej niż 1000 razy?

9. Czas pracy baterii produkowanych w pewnym zakładzie ma
rozkład normalny z wartością średnią 722 godz. i odchyleniem standardowym
135 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bateria
przestanie działać przed upływem 600 godzin pracy?

10. Wysokość drzew w pewnym lesie ma rozkład normalny ze średnią
23 m i odchyleniem standardowym 2 m. Planuje się wyciąć 30%
najwyższych drzew. Od jakiej wysokości drzewa będą wycinane?
greg
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 11 gru 2009, 16:35
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: greg »

O omedze możemy myśleć jak o zbirze par (a,b), gdzie a jest wynikiem losowania z pierwszej urny, b z drugiej.
\(|\Omega|=6\cdot 6=36
P((a,b))=\frac{1}{36}\)

Musimy się zastanowić jakie kombinacje kolorów możemy wylosować. Biała z niebieską kulą da nam wypłatę 28 zł, biała z czerwoną 26 zł, czarna z niebieską 31zł i czarna z czerwoną 29 zł. Więcej kombinacji nie ma.
Zatem \(X:\Omega\to\{26,28,29,31\}\), o wartościach przyjmowanych zgodnie z opisem ze zdania wcześniejszego.
\(P(X=26)=\frac{4\cdot 3}{36}=\frac{1}{3}
P(X=28)=\frac{4\cdot 3}{36}
P(X=29)=\frac{2\cdot 3}{36}=\frac{1}{6}
P(X=31)=\frac{1}{6}
\mathbb{E}X=26\cdot\frac{1}{3}+28\cdot\frac{1}{3}+29\cdot\frac{1}{6}+31\cdot\frac{1}{6}=28
\mathbb{E}X^2=26^2\cdot\frac{1}{3}+28^2\cdot\frac{1}{3}+29^2\cdot\frac{1}{6}+31^2\cdot\frac{1}{6}=787
Var(X)=787-28^2=3
\sigma=\sqrt{3}\)

3. Mamy schemat Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu (zapałka jest wadliwa) \(\frac{139}{1000}\)
\(\sum_{k=2}^90{90\choose k}\left(\frac{139}{1000}\right)^k\left(\frac{861}{1000}\right)^{90-k}\)
Wydaje mi się że przy takich liczbach można by uzyskać dobre przybliżenie dla każdej próby z rozkładu Poissona lub z normalnego.
4. \(\mathbb{E}X=-7\cdot\frac{2}{9}+(-2)\cdot\frac{1}{9}+2\cdot\frac{5}{9}+9\cdot\frac{1}{9}
\mathbb{E}X^2=(-7)^2\cdot\frac{2}{9}+(-2)^2\cdot\frac{1}{9}+2^2\cdot\frac{5}{9}+9^2\cdot\frac{1}{9}\)

Większe od -4 są -2,2,9, więc
\(P(X>-4)=P(X=-2)+P(X=2)+P(X=9)\)
Mniejsze od 3 są 2,-2,-7, więc
\(P(X<3)=P(X=-2)+P(X=2)+P(X=-7)\)
5. Opis jak w 3.
\(\sum_{k=1000}^{6000}\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(\frac{1}{2}\right)^{6000-k}=\sum_{k=1000}^{6000}\left(\frac{1}{2}\right)^{6000}=\frac{5000}{2^{6000}}\)
9. Wystarczy wykonać normalizację zmiennej losowej tzn. jeżeli \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\), to \(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)\). Zatem
\(P(x<600)=P(Y<\frac{600-722}{135})\)
to trzeba dokończyć liczyć i odczytać z tablic dla rozkładu narmalnego wynik.
10. oznaczmy przez \(a\) szukaną wysokość, X to zmienna losowa reprezentująca wysokość drzewa. Musimy rozwiązać równanie
\(P(X>a)=30\%=0,3\)
Znowu normalizujemy (Y będzie zmienną o rozkładzie normalnym)
\(P(X>a)=P(Y>\frac{a-23}{2})=1-P(Y<\frac{a-23}{2})
P(Y<\frac{a-23}{2})=0,7\)

Szczytujemy z tablic kiedy \(P(Y<x)=0,7\) x=0.524401 (standardowe tablice nie mają tej wartości, ale jak poszperasz w internecie to znajdziesz dokładniejsze). Stąd
\(\frac{a-23}{2}=0.524401
a=24,048802\)
ODPOWIEDZ