Testowanie hipotez statystycznych, test chi kwadrat

[Jarxinho]

Zad. 1. Załóżmy, że 5-cio elementowa próbka prosta
0.1;1;0.5;20/10;2
pochodzi z rozkładu wykładniczego z parametrem λ>0 oraz że λ^ jest estymatorem parametru λ, wyznaczonym metodą największej wiarogodności. Obliczyć wartość λ^.

Zad. 2. Spośród 125 głosujących, 35 osób poparło kandydata A. Wyznaczyć 90% przedział ufności dla frakcji osób popierających A.

Zad. 3. Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład N(m,5), wybrano losowo 1040 osób, a następnie zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 125.5. Przyjmując poziom istotności α=0.05, przetestować hipotezę H0:m=126, przy alternatywie H1:m<126.

Zad. 4. Wylosowano grupę 100 osób i okazało się, iż 40 z nich lubi czekoladę. Testem chi kwadrat zweryfikować hipotezę głoszącą, że osób lubiących czekoladę jest trzy razy mniej niż pozostałych (przyjąć poziom istotności α=0.01).

[panb]

Zad. 1. Załóżmy, że 5-cio elementowa próbka prosta 0.1;1;0.5;20/10;2
pochodzi z rozkładu wykładniczego z parametrem λ>0 oraz że λ^ jest estymatorem parametru λ, wyznaczonym metodą największej wiarogodności. Obliczyć wartość λ^.

\(\hat{\lambda} = \frac{1}{\kre{X}} \).
Policz średnią próbki (ja nie mogę z powodu ;20/10;2) i weź jej odwrotność. To jest estymator największej wiarogodności parametru \(\lambda\) rozkładu wykładniczego.

[panb]

Zad. 2. Spośród 125 głosujących, 35 osób poparło kandydata A. Wyznaczyć 90% przedział ufności dla frakcji osób popierających A.

\(\alpha =1-0,9=0,1 \So 1- \frac{\alpha}{2}=0,95 \So z_\alpha=1,65 \) według tablic dostępnych tutaj.
Wzór na przedział ufności jest taki:
\[\hat{p}- z_\alpha \sqrt{ \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} } <p< \hat{p}+ z_\alpha \sqrt{ \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} }\]
przy czym: \(n=125,\,\,\,\hat{p}= \frac{35}{125}=0,28,\,\,\, \hat{q}=1-\hat{p}=0,72 \So 0,21<p<0,35\)

Odpowiedź: Poparcie dla kandydata zawiera się w przedziale między 21% a 35%

.

[Jarxinho]

Zad. 2. Spośród 125 głosujących, 35 osób poparło kandydata A. Wyznaczyć 90% przedział ufności dla frakcji osób popierających A.

\(\alpha =1-0,9=0,1 \So 1- \frac{\alpha}{2}=0,95 \So z_\alpha=1,65 \) według tablic dostępnych tutaj.
Wzór na przedział ufności jest taki:
\[\hat{p}- z_\alpha \sqrt{ \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} } <p< \hat{p}+ z_\alpha \sqrt{ \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} }\]
przy czym: \(n=125,\,\,\,\hat{p}= \frac{35}{125}=0,28,\,\,\, \hat{q}=1-\hat{p}=0,72 \So 0,21<p<0,35\)

Odpowiedź: Poparcie dla kandydata zawiera się w przedziale między 21% a 35%

.

Hej, dwa pytania.
1. Dlaczego alfa dzielimy przez 2? W efekcie jest 0.95 a nie 0.9
2. Skoro 0,95 to dlaczego wartością odczytaną z rozkładu normalnego nie jest ~1.96 tylko 1,65?

[panb]

Chętnie bym ci wyjaśnił na czym to polega, ale zauważyłem, że nie potrafisz zdobyć się na głupie podziękowanie (kliknięciem) za rozwiązanie zadania. Wyjaśnienie wymaga rysunku z odpowiednim komentarzem. Szczerze mówiąc nie mam motywacji.

[Jarxinho]

Chętnie bym ci wyjaśnił na czym to polega, ale zauważyłem, że nie potrafisz zdobyć się na głupie podziękowanie (kliknięciem) za rozwiązanie zadania. Wyjaśnienie wymaga rysunku z odpowiednim komentarzem. Szczerze mówiąc nie mam motywacji.

Sorry, za faux pas . Jako jedyny podjąłeś się rozwiązania powyższych zadań, zdecydowanie należy Ci się podziękowanie za to!

[panb]

1. Dlaczego alfa dzielimy przez 2? W efekcie jest 0.95 a nie 0.9
2. Skoro 0,95 to dlaczego wartością odczytaną z rozkładu normalnego nie jest ~1.96 tylko 1,65?

Oto rysunek wyjaśniający (mam nadzieję) cały mechanizm:

W tablicach, których użyłem nie ma ujemnych argumentów, a w konstruowaniu przedziału ufności bierze się \(\pm z_\alpha\).
Jeśli masz tablice z ujemnymi , to szukasz \(\Phi \left( \frac{\alpha}{2} \right) \), a potem bierzesz tę wartość z minusem i przeciwną do niej

Dlaczego 1.96? Wtedy by było dla 0.975!!

[Jarxinho]

1. Dlaczego alfa dzielimy przez 2? W efekcie jest 0.95 a nie 0.9
2. Skoro 0,95 to dlaczego wartością odczytaną z rozkładu normalnego nie jest ~1.96 tylko 1,65?

Oto rysunek wyjaśniający (mam nadzieję) cały mechanizm:

dzwon.png

W tablicach, których użyłem nie ma ujemnych argumentów, a w konstruowaniu przedziału ufności bierze się \(\pm z_\alpha\).
Jeśli masz tablice z ujemnymi , to szukasz \(\Phi \left( \frac{\alpha}{2} \right) \), a potem bierzesz tę wartość z minusem i przeciwną do niej

Dlaczego 1.96? Wtedy by było dla 0.975!!

Dzięki za wyjaśnienie.

Zrobiłem 4. ale nie wiem czy dobrze.
n = 100
Liczba osób lubiących czekoladę 40
π = 0.25


\(\sum_{i=1}^{k}= \frac {(ni - nπi)^2}{nπi}=\frac {(40 - 100*0.25)^2}{100*0,25}+ \frac{(60 - 100*0.75)^2}{100*0,75}=12\)
Obszar krytyczny
\(\chi^2\text {0,01;1} = 6,635\)
Odpowiedź
na 99% możemy stwierdzić, że osób lubiących czekoladę jest 3 razy mniej niż pozostałych.
Prośba o sprawdzenie czy dobrze rozwiązałem

[panb]

Test jest ok, ale 12>6,635, więc hipotezę należy odrzucić.
Na 99% nie możemy twierdzić, że osób lubiących czekoladę jest trzy razy mniej niż pozostałych

[Jarxinho]

Zad. 3. Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład N(m,5), wybrano losowo 1040 osób, a następnie zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 125.5. Przyjmując poziom istotności α=0.05, przetestować hipotezę H0:m=126, przy alternatywie H1:m<126.

Prośba o pomoc jak rozwiązać zadanie 3.

[panb]

Zad. 3. Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład N(m,5), wybrano losowo 1040 osób, a następnie zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 125.5. Przyjmując poziom istotności α=0.05, przetestować hipotezę H0:m=126, przy alternatywie H1:m<126.

Prośba o pomoc jak rozwiązać zadanie 3.

1. Sformułowanie hipotez
   \( H_0: m=126, \qquad H_1: m<126\)
2. Określenie wartości krytycznej
   Dla \(\alpha=0,05\), i lewostronnego obszaru krytycznego \(z_\alpha=-1,65 \)
3. Obliczenie wartości statystyki testowej
   \(z= \frac{\kre{X}-m}{\sigma} \sqrt{n} =\ldots =-3,225\)
4. Decyzja
   \(-3,225<-1,65\), więc wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym co daje podstawy do odrzucenia hipotezy \(H_0\)
5. Podsumowanie/Wniosek
   Należy sądzić, że w tej populacji iloraz inteligencji jest mniejszy niż 126.