Statystyka - poziomy istotności

[albimajko]

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu dwóch zadań. Dostałem zestaw z kilkoma zadaniami, niestety mam problem z tymi przedstawionymi poniżej. Fajnie by było, gdyby zadania były rozwiązane i dodatkowo opisane dlaczego tak, a nie inaczej. Bardzo pomoże mi to zrozumieć zadania, ale samo rozwiązanie także bardzo mi pomoże. Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.


Zadanie 1
W pewnej firmie wylosowano niezależnie 250 pracowników i zbadano kształtowanie się wysokości rocznych premii przyznanych tym pracownikom pod koniec 2006 roku. Otrzymano następujące wyniki:
\[ \begin{matrix}
\text{wysokość premii (w tys. zł)}& \text{liczba pracowników}\\
4-5 & 20\\
5-6 & 30\\
6-7 & 60\\
7-8 & 80\\
8-9 & 40\\
9-10 & 20\\
\end{matrix}\]
Sprawdzić na poziomie istotności 0,01, czy odsetek pracowników, którym wypłacono ponad 7000 zł premii był mniejszy niż 60%.


Zadanie 2
W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma czasu użytkowania ubrań ochronnych, wynosząca 150 dni, nie jest zbyt wysoka, na przykładzie 17 losowo wybranych robotników zbadano faktyczny okres użytkowania tych ubrań. Otrzymano średni czas użytkowania ubrań 139 dni oraz odchylenie standardowe 9,8. Zakładamy, że czas użytkowania ubrań ochronnych ma rozkład normalny.
a) Na poziomie istotności 0,01 zbadać, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę obniżenia normy czasu użytkowania ubrań ochronnych?
b) Czy na poziomie istotności 0,01 wariancja czasu użytkowania ubrań ochronnych przekracza 100?

[panb]

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu dwóch zadań. Dostałem zestaw z kilkoma zadaniami, niestety mam problem z tymi przedstawionymi poniżej. Fajnie by było, gdyby zadania były rozwiązane i dodatkowo opisane dlaczego tak, a nie inaczej. Bardzo pomoże mi to zrozumieć zadania, ale samo rozwiązanie także bardzo mi pomoże. Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.

Zadanie 2
W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma czasu użytkowania ubrań ochronnych, wynosząca 150 dni, nie jest zbyt wysoka, na przykładzie 17 losowo wybranych robotników zbadano faktyczny okres użytkowania tych ubrań. Otrzymano średni czas użytkowania ubrań 139 dni oraz odchylenie standardowe 9,8. Zakładamy, że czas użytkowania ubrań ochronnych ma rozkład normalny.
a) Na poziomie istotności 0,01 zbadać, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę obniżenia normy czasu użytkowania ubrań ochronnych?

Hipotezy: \(H_0:\,\, m=150,\quad H_1: \,\, m<150\) (wybieramy m<150, bo interesuje nas zbadanie czy dotychczasowa norma czasu użytkowania ubrań ochronnych, wynosząca 150 dni, nie jest zbyt wysoka.

\(n=17,\quad \kre{X}=139,\quad s=9,8\) Statystyka testowa ma rozkład t-studenta z 16 stopniami swobody.

wartość statystyki \(t= \frac{\kre{X}-m}{s}\sqrt{n-1}= \frac{139-150}{9,8}\sqrt{16}\approx -4,49 \)
Wartość krytyczną znajdujemy z tablic rozkładu t-studenta dla \(\alpha=0,01\) i n-1=16 stopni swobody i bierzemy ze znakiem minus,ze względu na postać hipotezy alternatywnej. \(t_\alpha=-2,921\).
Ponieważ \(t=-4,49 \in (-\infty, -2,921]\), więc hipotezę \(H_0\) odrzucamy na korzyść hipotezy \(H_1\).

Wniosek: uzyskane wyniki stanowią podstawę obniżenia normy czasu użytkowania ubrań ochronnych

[panb]

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu dwóch zadań. Dostałem zestaw z kilkoma zadaniami, niestety mam problem z tymi przedstawionymi poniżej. Fajnie by było, gdyby zadania były rozwiązane i dodatkowo opisane dlaczego tak, a nie inaczej. Bardzo pomoże mi to zrozumieć zadania, ale samo rozwiązanie także bardzo mi pomoże. Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.

Zadanie 2
W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma czasu użytkowania ubrań ochronnych, wynosząca 150 dni, nie jest zbyt wysoka, na przykładzie 17 losowo wybranych robotników zbadano faktyczny okres użytkowania tych ubrań. Otrzymano średni czas użytkowania ubrań 139 dni oraz odchylenie standardowe 9,8. Zakładamy, że czas użytkowania ubrań ochronnych ma rozkład normalny.
b) Czy na poziomie istotności 0,01 wariancja czasu użytkowania ubrań ochronnych przekracza 100?

Hipotezy: \(H_0: \sigma^2=100, \quad H_1: \sigma^2>100\)
Dane: \(n=17,\,\, s^2=9,8^2=96,04\). Statystyka testowa ma rozkład \(\chi^2\) z 16 stopniami swobody (stablicowany np. tutaj)

Wartość statystyki testowej \(\displaystyle \chi^2= \frac{ns^2}{\sigma^2} = \frac{17\cdot 96,04}{100} =16,3268\)
Wartość krytyczną dla \(\alpha=0,01\) odczytujemy z tablic: \(\chi^2_\alpha=31,999\).

Ponieważ \(16,3268 \notin [31,999,+\infty] \), więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(H_0\).

Wniosek: Nie ma podstaw do twierdzenia, że wariancja czasu użytkowania ubrań ochronnych przekracza 100.

[Zuzay]

Witam i podłączę się do tematu. Czy mógłby ktoś zrobić zadanie 1, proszę

[janusz55]

Test dla proporcji (odsetka, wskaźnika struktury)

Dane:

\( n = 250.\)

\( k = 140. \)

\( p_{0} = 60\% = 0,60.\)

\( \alpha = 0,01.\)

Hipotezy:

\( H_{0}: p = p_{0}= 0,60, \)

\( H_{1}: p < p_{0}= 0,60. \)

Sprawdzianem hipotezy dla próby o liczebności \( 50< n = 250 \) jest statystyka:

\( Z = \frac{\frac{k}{n} - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot (1-p_{0})}{n}}}.\)

Przy założeniu prawdziwości hipotezy statystyka ta ma rozkład asymptotycznie normalny \( \mathcal{N}(0,1)\).

Położenie obszaru krytycznego w rozkładzie tej statystyki zależy od zapisu hipotezy alternatywnej, a jego wielkość określa przyjęty poziom istotności testu \( \alpha =0,01.\)

Obliczamy wartość statystyki dla danych z próby. W tym celu posłużymy się programem komputerowym R

Program R

Kod: Zaznacz cały

> z = ((140/250)-0.60)/(sqrt((0.6*(1-0.6))/250))
> z
[1] -1.290994

Określamy zbiór krytyczny testu.

Dla hipotezy \( H_{1}: p < 0,6 \) zachodzi relacja \( P(\{z\leq -z_{0,01}\})= 0,01.\)

Wartość krytyczną testu odczytujemy z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu R.

Program R

Kod: Zaznacz cały

> qnorm(0.01)
[1] -2.326348

Zbiór krytyczny \( \mathcal{K} = (-\infty, \ \ -2,33 ] \)

Wartość statystyki \( z = -1,29 \notin \mathcal{K} = (-\infty, \ \ -2,33]. \)

Przyjmujemy hipotezę \( H_{0}, \) że odsetek pracowników, którym wypłacono ponad \( 7000 \ \ złotych\) był równy \( 60\%.\)