Rozkład statystyk z próby

[marcelj765]

Cześć,

Mam 2 zadanka do zrobienia ze statystyki, które nie bardzo wiem jak ugryźć. Pierwsza próbowałem rozwiązać przy pomocy przedziałów ufności, ale coś nie idzie W drugim podpunkt a) skorzystałem z testowania hipotez statystycznych i wartość bezwzględna testowej statystyki t wyszła mi 1,878, a obszar krytyczny (1,9701, +oo), ale nie jestem pewien, czy jest dobrze i nie bardzo wiem, co dalej zrobić. Wklejam treść obu zadań i będę bardzo wdzięczny za pomoc

1. Poziom wody w Wiśle we Włodawie jest zmienną o rozkładzie normalnym z wartością
oczekiwana 3 metry. Prawdopodobieństwo, że średnia z 10 lat przekroczy 3.3 metra wynosi 0,02872.
a) Ile wynosi odchylenie standardowe?
b) Ile wynosi prawdopodobieństwo, że powyższa średnia będzie niższa co najmniej o 50 cm od 15 - letniej średniej poziomu wody w Colorado River w Yumie mającego rozkład normalny N(3.2, 0..
c) Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wariancja poziomu wody w Wiśle dla 10 losowych lat przekroczy 0,375 m2
d) Ile wynosi prawdopodobieństwo, że iloraz wariancji poziomu wody w CR i Wiśle (odpowiednio, dla 15 i 10 lat) przekroczy 7,72.

2. Zgodnie z dyrektywą Komisji Europejskiej długość ogona cebuli musi być mniejsza niż 4 cm. Komisarz Europejski 007 zbadał losowo 26 cebul na targowisku w pewnym kraju kandydującym do UE, stwierdzając, że. ich ogony miały średnią długość 3,8 cm. przy wariancji 0,295 cm2, zaś rozkład długości jest normalny.
a) Czy na tej podstawie można stwierdzić, z ryzykiem błędu I rodzaju 0,03, że cebule na tym targowisku spełniają przeciętnie normy europejskie?
b) Z jakim minimalnym ryzykiem można tak stwierdzić?
c) Z jakim minimalnym ryzykiem można stwierdzić, że mniej niż 84,15% cebul na targowisku spełnia normy europejskie, jeżeli przyjąć założenie, że średnia długość ogona cebuli wynosi 3,6 cm?

Wskazówka: 0,8415 to prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość mniejszą niż górne
ograniczenie obszaru jedno-sigmowego.

[marcelj765]

** W N(3.2, 0. oczywiście chodzi o N(3,2; 0,8')

[panb]

1. Poziom wody w Wiśle we Włodawie jest zmienną o rozkładzie normalnym z wartością
oczekiwana 3 metry. Prawdopodobieństwo, że średnia z 10 lat przekroczy 3.3 metra wynosi 0,02872.
a) Ile wynosi odchylenie standardowe?

Tu nie chodzi o przedział ufności, bo wtedy nie pytali by o \(\sigma\).
Niech \(Y=X_1+X_2+\ldots+X_{10}\) będzie zmienną losową będącą sumą stanów wody w ciągu 10 lat (te zmienne są rzecz jasna niezależne). Wtedy \(EY=10 \cdot 3=30,\,\,\,D^2Y=10 \cdot \sigma^2\) i zmienna Y ma rozkład normalny ze średnią 30 i wariancją \(10\sigma^2\)
Średnia z 10 lat przekroczy 3.3 tzn. \( \frac{Y}{10}>3.3 \iff Y>33 \).
\(P(Y>33)=1-P(Y\le33)=0,02872 \iff P(Y\le 33)=0,97128 \iff
P \left( \frac{Y-33}{\sigma\sqrt{10}}\le \frac{33-30}{\sigma\sqrt{10}} \right)=0,97128 \)
Zmienna \(U=\frac{Y-33}{\sigma\sqrt{10}}\) ma rozkład normalny N(0,1) i z tablic odczytujemy, że \(P(U \le z)=0,97128 \,\, \text{ dla }\,\, z=1,9\), więc \( \frac{33-30}{\sigma\sqrt{10}}=1,9 \So \sigma\approx 0,5\)