Rozkład jednostajny na przedziale

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
saymyname200
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 31 mar 2020, 13:42
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: saymyname200 »

Zadanie 1.
W tabeli opłat, rozmowa kosztuje \(1zł za minutę\), przy czym impulsy nalicza się co minutę. Zakładamy, że czas trwania rozmowy ma rozkład wykładniczy z parametrem \(λ=1\), co oznacza, że rozmowa trwa średnio minutę. Ile płacimy średnio za rozmowę?
Podpowiedź: X-czas trwania rozmowy, Z-opłata za rozmowę

Próba rozwiązania (w oparciu o wzory znalezione rozwiązania, więc nie wiem czy to dobrze):
\( P(X = t) = e^{−(t−1)} − e^{−t}, \ dla \ t = 1, 2, 3,... \)
i nieskończone, bo to chyba nie można tak zostawić?

Zadanie 2.
Niech zmienna losowa \(X \sim U([−2,2])\). Zmienna losowa \(Y=5X−4\). Policz \(EY\) i \(D^{2}Y\)

Próbarozwiązania:
\(
\displaystyle{ EX = \frac{-2+2}{2} = 0} \\
\displaystyle{ D^{2}X = \frac{(-2-2)^{2}}{12} = \frac{16}{12}} \\
\displaystyle{ EY = E(5X - 4) = 5EX - 4 = -4} \\
\displaystyle{ D^{2}Y = D^{2}(5X - 4) = 25 D^{2}X = 25 \cdot \frac{16}{12} = \frac{400}{12} = 33 \frac{1}{3}}
\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: panb »

X ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\lambda=1 \So \begin{cases}P(X=t)=e^{-t}\\ P(X\le t)=1-e^{-t} \end{cases} \text{ dla }t\ge0 \)

1. Skoro czas trwania rozmowy ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\lambda=1\), to \(P(X=t)=\lambda e^{-\lambda t}=e^{-t}, t>0\). Za rozmowę zapłacimy z złotych (z=1, 2, ...) jeśli rozmowa będzie trwała \(z-1< X \le z\)
\[P(Z=z)=\, P(z-1<X\le z) =(1-e^{-z})-(1-e^{-(z-1)})=e^{1-z}-e^{-z}\]

Przykłady.
  • Zapłacimy z=1 zł jeśli rozmowa będzie trwała (0,1] minuty.
    Prawdopodobieństwo tego, że zapłacimy złotówkę jest równe \(e^{1-1}-e^{-1}=1- \frac{1}{e} \)
  • Zapłacimy z=5 zł jeśli rozmowa będzie trwała (4,5] minut.
    Prawdopodobieństwo tego, że zapłacimy 5 zł jest równe \(e^{1-5}-e^{-5}=\frac{e-1}{e^4}\)
Pytanie o średni koszt rozmowy, to pytanie o \(E(Z)\)
\[\displaystyle \, E(Z)= \sum_{z=1}^{\infty}z \cdot P(Z=z) =\sum_{z=1}^{\infty} z(e^{1-z}-e^{-z})=(e-1)\sum_{z=1}^{\infty}ze^{-z}= (e-1) \cdot \frac{e}{(e-1)^2} = \frac{e}{e-1} \approx 1,68zł\]
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: panb »

saymyname200 pisze: 14 maja 2020, 18:37 Zadanie 2.
Niech zmienna losowa \(X \sim U([−2,2])\). Zmienna losowa \(Y=5X−4\). Policz \(EY\) i \(D^{2}Y\)

Próbarozwiązania:
\(
\displaystyle{ EX = \frac{-2+2}{2} = 0} \\
\displaystyle{ D^{2}X = \frac{(-2-2)^{2}}{12} = \frac{16}{12}} \\
\displaystyle{ EY = E(5X - 4) = 5EX - 4 = -4} \\
\displaystyle{ D^{2}Y = D^{2}(5X - 4) = 25 D^{2}X = 25 \cdot \frac{16}{12} = \frac{400}{12} = 33 \frac{1}{3}}
\)
Niedobrze. Jeśli U to rozkład normalny, a to w nawiasie to jego parametry, to \(EX=-2, D^2X=\sigma^2=2^2=4\)
Dalej tak jak robiłaś.
saymyname200
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 31 mar 2020, 13:42
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: saymyname200 »

panb pisze: 14 maja 2020, 21:15 Niedobrze. Jeśli U to rozkład normalny, a to w nawiasie to jego parametry, to \(EX=2, D^2X=\sigma^2=2^2=4\)
Dalej tak jak robiłaś.
Dziękuję bardzo! i jeszcze mam pytanie, aby mieć pewność czy na pewno EX=2 czy może EX=-2 jak najmniejsza liczba z przedziału?

i wtedy
\(EY=-10 \\
D^{2}Y=20\)

?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: panb »

Oczywiście masz rację. Brawo za czujność. Już poprawiam.
francesco0
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 16 maja 2020, 16:42

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: francesco0 »

panb pisze: 14 maja 2020, 21:15
saymyname200 pisze: 14 maja 2020, 18:37 Zadanie 2.
Niech zmienna losowa \(X \sim U([−2,2])\). Zmienna losowa \(Y=5X−4\). Policz \(EY\) i \(D^{2}Y\)

Próbarozwiązania:
\(
\displaystyle{ EX = \frac{-2+2}{2} = 0} \\
\displaystyle{ D^{2}X = \frac{(-2-2)^{2}}{12} = \frac{16}{12}} \\
\displaystyle{ EY = E(5X - 4) = 5EX - 4 = -4} \\
\displaystyle{ D^{2}Y = D^{2}(5X - 4) = 25 D^{2}X = 25 \cdot \frac{16}{12} = \frac{400}{12} = 33 \frac{1}{3}}
\)
Niedobrze. Jeśli U to rozkład normalny, a to w nawiasie to jego parametry, to \(EX=-2, D^2X=\sigma^2=2^2=4\)
Dalej tak jak robiłaś.
Mam pytanie, dlaczego w zadaniu 2 EX = -2, a nie EX = 0 skoro jest to (chyba) rozkład jednostajny ciągły na pewnym przedziale?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Rozkład jednostajny na przedziale

Post autor: panb »

Nie załapałem, że to rozkład jednostajny (np. w pierwszym zadaniu był wykładniczy).
Literą U oznacza się (też) rozkład normalny. Zresztą tak napisałem:
Jeśli U to rozkład normalny, a to w nawiasie to jego parametry, ...
ODPOWIEDZ