Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
luvmycrushes
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 18 mar 2020, 17:39
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej

Post autor: luvmycrushes »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Zmienna losowa X ma gęstość
f(x): 0 dla x< -1
x+1 dla -1<x<0
1-x dla 0<x<1
0 dla x>1

Wyznacz funkcję charakterystyczną tej zmiennej losowej.

Oraz kolejnego:
Niech X i Y będą niezależne o rozkładzie jednostajnym na (-0,5; 0,5). Pokazać, że ich suma
ma rozkład o gęstości jak w poprzednim zadaniu.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej

Post autor: panb »

Najpierw funkcja charakterystyczna:

\(\varphi_X(t)= \int_{-1}^{0}(x+1)e^{itx}dx+ \int_{0}^{1}(1-x)e^{itx}= \frac{1-it-e^{-it}}{t^2}+ \frac{it-e^{it}+1}{t^2}= \frac{2-e^{it}-e^{-it}}{t^2} \)

Funkcja charakterystyczna rozkładu jednostajnego U na przedziale [-0,5, 0,5] ma postać (źródło: Wikiopedia)
\(\varphi_U(t)= \frac{e^{0,5it}-e^{-0,5it}}{it(0,5+0,5)}= \frac{e^{0,5it}-e^{-0,5it}}{it}\)

Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to \(\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\cdot \varphi_Y(t)\)

Wobec tego dla dwóch zmiennych U o rozkładzie jednostajnym na [-0,5,0,5], mamy
\[\varphi_{U+U}(t)= \left( \frac{e^{0,5it}-e^{-0,5it}}{it} \right)^2 = \frac{e^{it}+e^{-it}-2e^0}{-t^2}= \frac{2-e^{it}-e^{-it}}{t^2}=\varphi_X(t) \] co należało wykazać.
ODPOWIEDZ