Gęstość prawd.

[RazzoR]

[panb]

a) metoda momentów
\(EX= \int_{0}^{1}x \left( ax^{a-1}\right) dx =a \int_{0}^{1}x^adx=a \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_0^1 =\frac{a}{a+1}\\
\frac{a}{a+1}=\kre{X} \So a=\frac{\kre{X}}{1-\kre{X}} \)

Odpowiedź: \(\hat{a}=\frac{\kre{X}}{1-\kre{X}}\)

[panb]

b) metoda największej wiarogodności

\(\ln f(x_i)=\ln a+(a-1)\ln x_i\\
L(a, x_1, x_2,\ldots ,x_n)= \sum_{i=1}^{n}\ln f(x_i)=n\ln a+(a-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\\
L'(a)= \frac{n}{a}+\sum_{i=1}^{n}\ln x_1 \\
L'(a)=0 \iff \frac{n}{a}=-\sum_{i=1}^{n}\ln x_1 \iff \frac{n}{a}=- \ln \prod_{i=1}^{n}x_i\\
\qquad \kre{X}= \sqrt[n]{x_1x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \So \prod_{i=1}^{n}x_1= \kre{X}^n\\
\frac{n}{a}=-n\ln \kre{X} \So \frac{1}{a}=-\ln\kre{X} =\ln\frac{1}{\kre{X}} \So a=\frac{1}{\ln\frac{1}{\kre{X}}}\)

Odpowiedź: \(\hat{a}=\frac{1}{\ln\frac{1}{\kre{X}}}\)