Prawdopodobieństwo - różne zadania

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ewelinax31
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 29 mar 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Prawdopodobieństwo - różne zadania

Post autor: Ewelinax31 »

Hej, bardzo proszę o pomoc w poniższych zadaniach.
1) Ze zbioru <-3;3> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(x^2 + y^2 \le 4\), gdy zbiór tworzą liczby:
(a) całkowite,
(b) rzeczywiste?

2) Rzucamy 6 razy monetę. Czy zdarzenie - wypadł dokładnie 3 razy orzeł i B - reszka wypadła dokładnie 3 razy są zależne?

3) W partii 200 układów scalonych 10 sztuk jest wadliwych. Wybieramy losowo 4 sztuki. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że co najmniej 3 sztuki są nie wadliwe?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Prawdopodobieństwo - różne zadania

Post autor: panb »

a) Ilustracja wyjaśnia to najlepiej:
ilustr.png
ilustr.png (14.58 KiB) Przejrzano 1617 razy
\(|\Omega|=49\) ilość "kropek" (punktów kratowych wewnątrz i na brzegu kwadratu
\(|A|=13\) - ilość kropek wewnątrz koła o promieniu 2
Zatem \(P(A)= \frac{13}{49}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

1b) Tym razem korzystamy z prawdopodobieństwa geometrycznego \(p= \frac{\text{pole koła}}{\text{pole kwadratu}} = \frac{4\pi}{36}= \frac{\pi}{9}\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

2. Trzeba sprawdzić czy prawdopodobieństwo zdarzenia "wypadł 3 razy orzeł i 3 razy reszka" jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zdarzenia "wypadł dokładnie 3 razy orzeł" i prawdopodobieństwa zdarzenia "wypadła dokładnie 3 razy reszka".
Dasz radę?
Ewelinax31
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 29 mar 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re:

Post autor: Ewelinax31 »

panb pisze:2. Trzeba sprawdzić czy prawdopodobieństwo zdarzenia "wypadł 3 razy orzeł i 3 razy reszka" jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zdarzenia "wypadł dokładnie 3 razy orzeł" i prawdopodobieństwa zdarzenia "wypadła dokładnie 3 razy reszka".
Dasz radę?
Rozumiem, że trzeba to zrobić z tego warunku niezależności, ale właśnie nie bardzo rozumiem jak obliczyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Np. czy prawdopodobieństwo, że wypadł 3 razy orzeł i 3 razy reszka będzie równe \(\frac{1}{2^6}\)?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

3) Schemat Bernoulli'ego. Sukcesem jest wylosowanie wadliwej sztuki: p=0,05 ; q=1-p=0,95.
Prawdopodobieństwo co najmniej trzech sukcesów w czterech próbach = prawdopodobieństwo 3 sukcesów +prawdopodobieństwo 4 sukcesów.

Dasz radę policzyć?
Ewelinax31
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 29 mar 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re:

Post autor: Ewelinax31 »

panb pisze:3) Schemat Bernoulli'ego. Sukcesem jest wylosowanie wadliwej sztuki: p=0,05 ; q=1-p=0,95.
Prawdopodobieństwo co najmniej trzech sukcesów w czterech próbach = prawdopodobieństwo 3 sukcesów +prawdopodobieństwo 4 sukcesów.

Dasz radę policzyć?
Jasne, a czy można to policzyć za pomocą schematu hipergeometrycznego? Bo próbowałam tą metodą, ale nie wiem, czy można ją zastosować do tego przykładu.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: panb »

Rozumiem, że trzeba to zrobić z tego warunku niezależności, ale właśnie nie bardzo rozumiem jak obliczyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Np. czy prawdopodobieństwo, że wypadł 3 razy orzeł i 3 razy reszka będzie równe \(\frac{1}{2^6}\)?
Raczej nie. Bierzesz "OOORRR" i przestawiasz na wszystkie możliwe sposoby. Będzie ich \(\frac{6!}{3! \cdot 3!} =20\)
Prawdopodobieństwo \(P_{3O3R}= \frac{20}{2^6}\)

Prawdopodobieństwo dokładnie 3 orłów (albo reszek) jest takie samo jat to powyżej, bo jeśli mają być dokładnie trzy orły (reszki) to do kolekcji będą dokładnie 3 reszki (orły).

\(P_{3O}=P_{3R}= \frac{20}{2^6}\), więc ... nie są niezależne.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: panb »

Ewelinax31 pisze:
panb pisze:3) Schemat Bernoulli'ego. Sukcesem jest wylosowanie wadliwej sztuki: p=0,05 ; q=1-p=0,95.
Prawdopodobieństwo co najmniej trzech sukcesów w czterech próbach = prawdopodobieństwo 3 sukcesów +prawdopodobieństwo 4 sukcesów.

Dasz radę policzyć?
Jasne, a czy można to policzyć za pomocą schematu hipergeometrycznego? Bo próbowałam tą metodą, ale nie wiem, czy można ją zastosować do tego przykładu.

Nie mam pojęcia.
Ewelinax31
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 29 mar 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: Ewelinax31 »

panb pisze:
Rozumiem, że trzeba to zrobić z tego warunku niezależności, ale właśnie nie bardzo rozumiem jak obliczyć prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Np. czy prawdopodobieństwo, że wypadł 3 razy orzeł i 3 razy reszka będzie równe \(\frac{1}{2^6}\)?
Raczej nie. Bierzesz "OOORRR" i przestawiasz na wszystkie możliwe sposoby. Będzie ich \(\frac{6!}{3! \cdot 3!} =20\)
Prawdopodobieństwo \(P_{3O3R}= \frac{20}{2^6}\)

Prawdopodobieństwo dokładnie 3 orłów (albo reszek) jest takie samo jat to powyżej, bo jeśli mają być dokładnie trzy orły (reszki) to do kolekcji będą dokładnie 3 reszki (orły).

\(P_{3O}=P_{3R}= \frac{20}{2^6}\), więc ... nie są niezależne.
Dziękuję :)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Na zdrowie!
ODPOWIEDZ