skokowe zmienne losowe

[alphal]

1. Z urny zawierającej 4 kule oznaczone liczbami: -1, 0, 1, 2 losujemy 2 kule. Suma liczb na wylosowanych
kulach jest zmienną losową. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną, wariancję i
dystrybuantę. (podpowiedź: sporządzić tabelkę możliwych wartości)
2. Gracz rzuca 2 kostkami. Jeżeli na obu kostkach wypadną 6, to gracz wygrywa 110 zł; jeżeli wypadną
jednakowe liczby oczek (ale nie szóstki), to wygrywa a zł. W pozostałych przypadkach przegrywa 2a zł.
Dla jakiego a wartość oczekiwana wygranej jest równa 0? Po wyznaczeniu a określić dystrybuantę.
3. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wyrzucimy 6 oczek, to otrzymujemy 20 punktów, gdy nieparzystą liczbę
punktów - zdobywany 10 punktów. W pozostałych przypadkach tracimy 2 punkty. Niech X oznacza liczbę
zdobytych punktów. Znaleźć: rozkład, dystrybuantę F(x), EX, Var X.
11. Gra polega na rzucie monetą i kostką do gry. Zyskujemy 5zł gdy ”Reszka” i "1", 1zł, gdy ”Orzeł” i "parzysta
liczba oczek". W pozostałych przypadkach tracimy 2zł. Wyznaczyć a) rozkład, b) F(t), c) EX.

dzieki

[eresh]

1. Z urny zawierającej 4 kule oznaczone liczbami: -1, 0, 1, 2 losujemy 2 kule. Suma liczb na wylosowanych
kulach jest zmienną losową. Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej, wartość oczekiwaną, wariancję i
dystrybuantę. (podpowiedź: sporządzić tabelkę możliwych wartości)

rozkład:
\(P(X=-1)=\frac{1}{6}\\
P(X=0)=\frac{1}{6}\\
P(X=1)=\frac{2}{6}\\
P(X=2)=\frac{1}{6}\\
P(X=3)=\frac{1}{6}\\\)

\(\mathbb{E}X=-1\cdot \frac{1}{6}+0\cdot \frac{1}{6}+1\cdot \frac{2}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}=...\\
\mathbb{E}X^2=(-1)^2\cdot \frac{1}{6}+0^2\cdot \frac{1}{6}+1^2\cdot \frac{2}{6}+2^2\cdot \frac{1}{6}+3^2\cdot\frac{1}{6}=...\\
\mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X\)

\(\mbox{ dla }x\leq -1\;\;F(x)=0\\
\mbox{ dla }-1<x\leq 0\;F(x)=\frac{1}{6}\\
\mbox{ dla }0<x\leq 1\;F(x)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\
\mbox{ dla }1<x\leq 2\;F(x)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}\\\)
\(\mbox{ dla }2<x\leq 3\;F(x)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\\
\mbox{ dla }x>3\;F(x)=F(x)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\)

[eresh]

2. Gracz rzuca 2 kostkami. Jeżeli na obu kostkach wypadną 6, to gracz wygrywa 110 zł; jeżeli wypadną
jednakowe liczby oczek (ale nie szóstki), to wygrywa a zł. W pozostałych przypadkach przegrywa 2a zł.
Dla jakiego a wartość oczekiwana wygranej jest równa 0? Po wyznaczeniu a określić dystrybuantę.

\(P(X=110)=\frac{1}{36}\\
P(X=a)=\frac{5}{36}\\
P(X=-2a)=\frac{30}{36}\)
do rozwiązania równanie:
\(\frac{1}{36}\cdot 110+a\cdot\frac{5}{36}-2a\cdot\frac{30}{36}=0\)

[eresh]

3. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wyrzucimy 6 oczek, to otrzymujemy 20 punktów, gdy nieparzystą liczbę
punktów - zdobywany 10 punktów. W pozostałych przypadkach tracimy 2 punkty. Niech X oznacza liczbę
zdobytych punktów. Znaleźć: rozkład, dystrybuantę F(x), EX, Var X.

rozkład:
\(P(X=20)=\frac{1}{6}\\
P(X=10)=\frac{3}{6}\\
P(X=-2)=\frac{2}{6}\)
dystrybuanta, EX i wariancja analogicznie jak w zadaniu 1

[eresh]

11. Gra polega na rzucie monetą i kostką do gry. Zyskujemy 5zł gdy ”Reszka” i "1", 1zł, gdy ”Orzeł” i "parzysta
liczba oczek". W pozostałych przypadkach tracimy 2zł. Wyznaczyć a) rozkład, b) F(t), c) EX.

rozkład:
\(P(X=5)=\frac{1}{12}\\
P(X=1)=\frac{3}{12}\\
P(X=-2)=\frac{8}{12}\)