Prawdopodobieństwo całkowite

[alphal]

Prawdopodobieństwo całkowite
1. W pierwszej urnie znajdują się 2 kule białe i 4 czarne, a w drugiej 4 białe i 3 czarne. Z pierwszej urny
przenosimy jedną kulę do drugiej urny. Z drugiej urny losujemy dwie kule. Oblicz p-stwo wylosowania
dwóch kul o różnych kolorach.
2. Z urny zawierającej 5 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i
dokładamy 2 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule. Jakie
jest p-stwo, że wybrane za drugim razem kule są a) różnych kolorów; b) obie są białe.
3. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli
wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej
urny. Jakie jest p-stwo wylosowania kuli białej?
4. Z talii 52 kart losujemy 2 karty i odkładamy je na bok. Następnie z pozostałych kart losujemy kolejno 3
karty, przy czym po każdym losowaniu wylosowaną kartę dokładamy do talii i tasujemy. Obliczyć p-stwo
tego, że wszystkie 3 wylosowane w drugim kroku karty będą asami.
5. W urnach o numerach 1-9 znajdują się po 4 kule białe i 6 czarnych, natomiast w 10-tej urnie jest 10 kul
białych i 10 czarnych. Z losowo wybranej urny wylosowano 2 kule. a) Obliczyć p-stwo,że obie będą białe.
b) Oblicz p-stwo tego, że pochodziły one z 10 urny, jeśli wiadomo, że obie są białe.
6. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 kule czarne przełożono dwie wyciągnięte losowo kule do urny zawierającej 4 białe i 4 czarne kule. Obliczyć p-stwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny.
7. Wiadomo, że 5% studentów umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne , 30% umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% umie odpowiedzieć na 60% pytań, 25% umie odpowiedzieć
tylko na 50 % pytań. Z zespołu tego wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć p-stwo tego, że odpowie
on na zadane pytanie.
8. Mamy 2 urny typu A1 zawierające po 3 białe i 7 czarnych kul, 3 urny typu A2 zawierające po 2 białe, 3
czarne i 5 zielonych kul oraz 5 urn typu A3 zawierających po 1 białej i 9 czarnych kul. Z losowo wybranej
urny losujemy 1 kulę. a) Obliczyć p-stwo, że wylosujemy kulę białą. b) Wyciągnięto kulę, która okazała
się biała. Jakiemu typowi urny odpowiada największe p-stwo pochodzenia tej kuli?

Dziekuje bardzo!

[radagast]

Prawdopodobieństwo całkowite
1. W pierwszej urnie znajdują się 2 kule białe i 4 czarne, a w drugiej 4 białe i 3 czarne. Z pierwszej urny
przenosimy jedną kulę do drugiej urny. Z drugiej urny losujemy dwie kule. Oblicz p-stwo wylosowania
dwóch kul o różnych kolorach.

drzewko jest takie:

ScreenHunter_697.jpg (17.66 KiB) Przejrzano 10534 razy

Teraz wymnożyć po gałązkach, dodać i masz wynik.

[eresh]

2. Z urny zawierającej 5 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę i następnie zwracamy ją do urny i
dokładamy 2 kule tego koloru co wybrana kula. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy dwie kule. Jakie
jest p-stwo, że wybrane za drugim razem kule są a) różnych kolorów; b) obie są białe.

H_1 - za pierwszym razem wylosowano kulę białą
H_2 - za pierwszym razem wylosowano kulę czarną
\(P(H_1)=\frac{5}{9}\\
P(H_2)=\frac{4}{9}\)

A - wylosowano kule różnych kolorów
\(P(A|H_1)=\frac{7\cdot 4}{{11\choose 2}}\\\)
\(P(A|H_2)=\frac{6\cdot 5}{{11\choose 2}}\\\)
\(P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)\)

B - wylosowano dwie kule białe
\(P(B|H_1)=\frac{{7\choose 2}}{{11\choose 2}}\\
P(B|H_2)=\frac{{5\choose 2}}{{11\choose 2}}\\
P(B)=P(B|H_1)P(H_1)+P(B|H_2)P(H_2)\)

[eresh]

3. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli
wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej
urny. Jakie jest p-stwo wylosowania kuli białej?

H_1 - wypadnie mniej niż 3 oczka
H_2 - wypadnie nie mniej niż 3 oczka
\(P(H_1)=\frac{2}{6}\\
P(H_2)=\frac{4}{6}\)

A - wylosowano kulę białą
\(P(A|H_1)=\frac{3}{5}\\\)
\(P(A|H_2)=\frac{1}{5}\\\)
\(P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)\)

[eresh]

5. W urnach o numerach 1-9 znajdują się po 4 kule białe i 6 czarnych, natomiast w 10-tej urnie jest 10 kul
białych i 10 czarnych. Z losowo wybranej urny wylosowano 2 kule. a) Obliczyć p-stwo,że obie będą białe.
b) Oblicz p-stwo tego, że pochodziły one z 10 urny, jeśli wiadomo, że obie są białe.

H_1 - wybrano jedną z urny 1-9
H_2 - wybrano urnę 10
\(P(H_1)=\frac{9}{10}\\
P(H_2)=\frac{1}{10}\)

A - wylosowano dwie białe kule
\(P(A|H_1)=\frac{{4\choose 2}}{{10\choose 2}}\\\)
\(P(A|H_2)=\frac{{10\choose 2}}{{20\choose 2}}\\\)
\(P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)\)

\(P(H_2|A)=\frac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)}\)

[eresh]

6. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 kule czarne przełożono dwie wyciągnięte losowo kule do urny zawierającej 4 białe i 4 czarne kule. Obliczyć p-stwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny.

\(H_1\) - przełożono dwie kule białe
\(H_2\) - przełożono dwie kule czarne
\(H_3\) - przełożono kule różnych kolorów
\(P(A|H_1)=\frac{{3\choose 2}}{{5\choose 2}}\\
P(A|H_2)=\frac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\\
P(A|H_3)=\frac{3\cdot 2}{{5\choose 2}}\\\)

A - wylosowano kulę białą
\(P(A|H_1)=\frac{6}{10}\\
P(A|H_2)=\frac{4}{10}\\
P(A|H_3)=\frac{5}{10}\\
P(A)=P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_3)P(H_3)\)

[eresh]

7. Wiadomo, że 5% studentów umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne , 30% umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% umie odpowiedzieć na 60% pytań, 25% umie odpowiedzieć
tylko na 50 % pytań. Z zespołu tego wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć p-stwo tego, że odpowie
on na zadane pytanie.

\(P(A)=0,05\cdot 1+0,3\cdot 0,7+0,4\cdot 0,6+0,25\cdot 0,5\)

[eresh]

8. Mamy 2 urny typu A1 zawierające po 3 białe i 7 czarnych kul, 3 urny typu A2 zawierające po 2 białe, 3
czarne i 5 zielonych kul oraz 5 urn typu A3 zawierających po 1 białej i 9 czarnych kul. Z losowo wybranej
urny losujemy 1 kulę. a) Obliczyć p-stwo, że wylosujemy kulę białą. b) Wyciągnięto kulę, która okazała
się biała. Jakiemu typowi urny odpowiada największe p-stwo pochodzenia tej kuli?

\(H_1\) - wylosowano urnę typu A1
\(H_2\) - wylosowano urnę typu A2
\(H_3\) - wylosowano urnę typu A3

\(P(H_1)=\frac{2}{10}\\
P(H_2)=\frac{3}{10}\\
P(H_3)=\frac{5}{10}\)

A - wylosowano kulę białą
\(P(A|H_1)=\frac{3}{10}\\
P(A|H_2)=\frac{2}{10}\\
P(A|H_3)=\frac{1}{10}\\
P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)\\
P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\\
P(H_2|)=\frac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\\
P(H_3|A)=\frac{P(A|H_3)P(H_3)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\\\)

[Eluwinaeeeee]

3. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli
wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej
urny. Jakie jest p-stwo wylosowania kuli białej?

H_1 - wypadnie mniej niż 3 oczka
H_2 - wypadnie nie mniej niż 3 oczka
\(P(H_1)=\frac{2}{6}\\
P(H_2)=\frac{4}{6}\)

A - wylosowano kulę białą
\(P(A|H_1)=\frac{3}{5}\\\)
\(P(A|H_2)=\frac{1}{5}\\\)
\(P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)\)

Wychodzi mi \( \frac{1}{3} \), na pewno to jest dobry wynik?

[radagast]

Na pewno

[Jerry]

Prawdopodobieństwo całkowite
4. Z talii 52 kart losujemy 2 karty i odkładamy je na bok. Następnie z pozostałych kart losujemy kolejno 3
karty, przy czym po każdym losowaniu wylosowaną kartę dokładamy do talii i tasujemy. Obliczyć p-stwo
tego, że wszystkie 3 wylosowane w drugim kroku karty będą asami.

Niech \(H_i\) oznacza zdarzenie " odłożyliśmy \((i-1)\) asów, dla \(i=1,2,3\). Wtedy
\(p(H_1)={{48\choose2}\over{52\choose2}}\\
p(H_2)={{4\choose1}\cdot{48\choose1}\over{52\choose2}}\\
p(H_3)={{4\choose2}\over{52\choose2}}\\
p(S/H_1)=\left({4\over50}\right)^3\\
p(S/H_2)=\left({3\over50}\right)^3\\
p(S/H_3)=\left({2\over50}\right)^3\)
i dalej ze znanego wzoru...

Pozdrawiam