Cecha X populacji

[Kamil Antoni Janiak]

Cecha X w populacji generalnej ma rozkład normalny o nieznanej wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym. Z populacji pobrano losowa próbę uzyskując następujące wyniki: 8,8 7,9 9,9 9,1 8,2 9,5 9,4 8,7 9,5. Na ich podstawie:
(a) na poziomie ufności 0,95 oszacuj przedziałowo nieznaną wartość oczekiwaną cechy X,
(b) na poziomie istotności 0,01 zweryfikuj hipotezę, że wartość oczekiwaną cechy X jest równa 9,5.
Nie było mnie na zajęciach i nie wiem jak to obliczyć, będę wdzięczny za każdą pomoc

[panb]

Każdą? OK!
a)

• Po pierwsze trzeba policzyć średnią z próby: \(m= \frac{ \sum_{i=1}^{9}x_i }{9},\quad m=9\)
  Po drugie trzeba policzyć odchylenie standardowe z próby: \(s= \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^{9}(x_1-m)^2 }{9-1} }, \quad s=0,658\)
  
  Wzór na przedział ufności gdy zmienna ma rozkład normalny o nieznanym odchyleniu standardowym jest taki: \[m-t_{\alpha} \frac{s}{ \sqrt{n} } <\mu<m-t_{\alpha} \frac{s}{ \sqrt{n} }\] gdzie \(t_{\alpha}\) jest wartością krytyczną z rozkładu t-studenta z n-1 stopniami swobody, którą znajdujemy w tablicach np.tutaj szukając wartości dla \(\alpha=1-0,95=0,05\) i \(9-1=8\) stopni swobody.
  
  Dla \(\alpha=0,95\,\,\, i \,\,\, n=9, \,\,\, t_{\alpha}=2,3060\).
  
  • Daje to przedział ufności: \(8,494<\mu<9,506\)

P.S. Oznaczenia stosowanie u ciebie mogą być inne - sprawdź to, żeby nie wtopić.