Zmienne losowe ciągłe

[Paula98r]

1. Dana jest funkcja

2x +a, x \in <-4, -3>
f(x)={
0 \notin <-4, -3>

a) Wyznacz a tak aby f(x) byla funkcją gęstości zmiennej losowej X
b) wyznacz dystrybuantę
c) Oblicz P(X >-3,5) oraz zinterpretowac graficzbie prawdopodobieństwo.

[panb]

\(f(x)= \begin{cases} 2x+a&x\in[-4,-3]\\0&x \notin [-4,-3]\end{cases}\)

a) f będzie funkcją gęstości, gdy \(\int_{- \infty }^{+ \infty }f(x)dx=1\)

• \(\int_{- \infty }^{+ \infty }f(x)dx=1 \iff \int_{-4}^{-3}(2x+a)dx=1\)
  \(\left[x^2+ax \right]^{-3} _{-4}=1 \iff (9-3a)-(16-4a)=1 \iff a=8\)
  więc \(f(x)= \begin{cases}2x+8&x\in [-4,-3]\\0&x\notin [-4,-3] \end{cases}\)

b) dystrybuanta \(F(x)= \int_{- \infty }^{x} f(t)dt\)

• W naszym przypadku \(F(x)= \int_{-4}^{x}(2t+8)dt= \ldots =x^2+8x+16\)

[panb]

c) \(P(X>-3,5)=1-P(X\le-3,5)=1-F(-3,5)=0,25\)

Graficznie jest to pole pod wykresem funkcji gęstości:

rys.jpg (61.95 KiB) Przejrzano 930 razy