Prostokąt

[mela1015]

Z prostokąta \(D = [0,2]×[0,1]\) wybieramy losowo punkt (x,y). W zależności od wartości parametru \(a \in R\)
obliczyć prawdopodobieństwo \(P(x + y \le a)\).

Obliczyłam, że
1) gdy \(a<0\)
\(P(x + y \le a)=0\)

2) co w przypadku gdy \(a>0\) >

wiemy, że \(x=a-1\)
\(y \le a-x\)
Narysowałam to w układzie współrzędnych, wyszedł trójkąt, tylko teraz pytanie jak to prawdopodobieństwo będzie wyglądało w przypadku gdy \(a>0\)

[kerajs]

\(P(a)= \begin{cases} 0 &\text{dla } a \le 0 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 }{2} &\text{dla } 0<a \le 1 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}(a-1)^2 }{2} &\text{dla } 1<a \le 2 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 -\frac{1}{2}(a-1)^2 - \frac{1}{2}(a-2)^2 }{2} &\text{dla } 2<a \le 3 \\ 1 &\text{dla } 3<a \end{cases}\)

[mela1015]

\(P(a)= \begin{cases} 0 &\text{dla } a \le 0 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 }{2} &\text{dla } 0<a \le 1 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}(a-1)^2 }{2} &\text{dla } 1<a \le 2 \\ \frac{ \frac{1}{2}a^2 -\frac{1}{2}(a-1)^2 - \frac{1}{2}(a-2)^2 }{2} &\text{dla } 2<a \le 3 \\ 1 &\text{dla } 3<a \end{cases}\)

Jak obliczyć np ten przypadek 3? Nie rozumiem, proszę o pomoc

[kerajs]

1<a<2

xoy.png (5.81 KiB) Przejrzano 919 razy

W tym przypadku prawdopodobieństwo to stosunek pola szarego trapezu na lewo od czerwonej prostej do pola szarego prostokąta.
Pole tego trapezu to różnica pola trójkąta między czerwoną prostą a osiami układu, a pola białego trójkąta nad rzeczonym trapezem.