Zdarzenia niezależne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 345
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 186 razy

Zdarzenia niezależne

Post autor: mela1015 » 29 paź 2018, 15:57

Z przedziału [0,1] wybieramy losowo dwa punkty x i y.
Niech \(A_t = {(x,y) \in [0,1]^2 : x \le t}\) dla \(t \in R\), a
\(B = {(x,y) \in [0,1]^2 : x + y \le 1}\).
Dla jakich wartości \(t \in R\) zdarzenia \(A_t\) i \(B\) są niezależne?

Obliczyłam, że
\(P(B)= \frac{1}{2}\)

\(P(A_t)=1t\)

Musimy rozważyć przypadki gdy:
1) \(t \le 0\)
2) \(t \in (0,1]\)
3) \(t \in (0, \infty)\)

Niezależność:
\(P(A_t \cap B)=P(A_t)P(B)\)

Zatem
1) \(P(A_t \cap B)=0\) , \(P(A_t)=0\), \(P(B)= \frac{1}{2}\)
czyli równość zachodzi dla \(t=0\)

2) \(P(A_t \cap B)= \frac{2t-t^2}{2}\)
\(\frac{2t-t^2}{2}= \frac{1}{2}t\)
zatem \(t=0 \vee t=3\)

3) \(P(A_t \cap B)=P(B)\)
zatem \(t=1\) bo \(P(A_t \cap B)= \frac{1}{2}\)

Czyli tylko dla \(t=1 \wedge t=0\) zdarzenia są niezależne?