Wykaż, że

[mela1015]

Wykaż, że jeśli zdarzenia A' i B są niezależne to również zdarzenia A i B' też są niezależne.

Wiemy, że
\(P(A' \cap B)=P(A')P(B)\)
Czy tutaj należy skorzystać z prawa de Morgana dla zbiorów, że \(A' \cap B\) to \(B \bez A\) ?

[radagast]

Niezupełnie.
Ja bym zrobiła tak:
\(P(A \cap B')=\\
1-P((A \cap B')')=\\
1-P(A' \cup B)=\\
1-P(A' ) -P( B)+P(A' \cap B) =\\
P(A ) -P( B)+P(A' )P( B) =\\
P(A ) -P( B)+(1-P(A))P( B) =\\
P(A ) -P( B)+P(B)-P(A)P( B) =\\
P(A ) -P(A)P( B) =\\
P(A ) (1-P( B)) =\\
P(A ) P( B') \\\)

cbdo

[radagast]

albo ciut krócej:
\(P(A \cap B')=\\
1-P((A \cap B')')=\\
1-P(A' \cup B)=\\
1-P(A' ) -P( B)+P(A' \cap B) =\\
1-P(A' ) -P( B)+P(A' ) P( B) =\\
1-P(A' ) -P( B)(1-P(A' ) )=\\
(1-P(A' ))(1 -P( B))=\\
P(A )P( B')\\\)