Rachunek Prawdopodobieństwa (Kombinatoryka, Twierdzenie o P)

[TajemniczyStrażak]

1. Liczby 2,3,4...11,12 ustawiono w ciągu w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że "4" wystąpi przed "9" , jeżeli wiadomo, że "9" stoi na czwartym miejscu.

2. Znając n wiedząc, że \({n\choose k}\) - \({n\choose 3}\) =0

3. Z talii 52 kart wybieramy losowo cztery karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie karty będą różnych wartości i kolorów.

4. W trzech urnach rozmieszczono kule:
1(3 białe 4 czarne)
2(2 białe 5 czarnych)
3(2 białe 3 czarne)
Losujemy jedną kulę z losowo wybranej urny. jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli? jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z drugiej urny, jeżeli wiadomo, że wylosowano czarną?

5. Test pojedynczego wyboru składa sięz 20 pytań, w każdym są cztery możliwe odpowiedzi. jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie poprawnie na conajmniej jedno pytanie? jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba prawidłowych odpowiedzi w teście w takiej sytuacji?


6. Mając dany rozkład zmiennej losowej X(\(x_i\);\(p_i\))={(-3,5;0,1),(-2;0,2),(0;0,1)(1;0,25), (2,5; 0,15) (3;c)} znajdź wartość c oraz narysuj na wykresie rozkład zmiennej losowej.

7. Dla rozkładu zmiennej losowej z Zad 6 wyznacz wartość oczekiwaną E(X), wariancję \(D^2\)(X),moment zwykły rzędu drugiego a2 oraz momentcentralny rzędu pierwszego \(\mu_1\)

8. Dla rozkładu zmiennej losowej z Zad 6 wyznacz i naszkicuj dystrybuantę F(X). Oblicz kwantyle \(x_0,_5\) i \(x_0,_3\).

9. Dla rozkładu zmiennej losowej z Zad 6 oblicz, korzystająć z rozkładu prawdopodobieństwa oraz z dystrybuanty F(X), następujące prawdopodobieństwa: P(-4\(\le\)X\(\le\)2) P(X\(\le\)3) P(X\(\ge\)1) Oblicz obiema metodami

10. Mając daną gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej f(x) - (-\(\frac{1}{8}\))x + (\(\frac{1}{2}\)) dla x \(\in\)[0,4], wyznacz dystrybuantę F(X), kwantyle \(x_0,_5\) i \(x_0,_3\).,wartość oczekiwaną E(X) i wariancję \(D^2\) (X)

[radagast]

1. Liczby 2,3,4...11,12 ustawiono w ciągu w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że "4" wystąpi przed "9" , jeżeli wiadomo, że "9" stoi na czwartym miejscu.

\(\Omega\)-zbiór permutacji zboiru \(\left\{2,3,4...11,12 \right\}\)
\(\kre{ \kre{ \Omega } }=11!\)
\(A\) -zdarzenie, że "4" wystąpi przed "9".
\(B\) -zdarzenie, że "9" stoi na czwartym miejscu.
\(P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{3 \cdot 9!}{11!} }{ \frac{10!}{11!} }= \frac{3 \cdot 9!}{10!} = \frac{3}{10}\)

[radagast]

2. Znając n wiedząc, że \({n\choose k}\) - \({n\choose 3}\) =0

Popraw treść.

[radagast]

3. Z talii 52 kart wybieramy losowo cztery karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie karty będą różnych wartości i kolorów.

\(\Omega\) - zbiór czteroelemntowych podzbiorów zbioru kart.
\(\kre{ \kre{ \Omega } }= {52 \choose 4 } = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{4!}\)
\(A\) - zbiór takich czteroelemntowych podzbiorów zbioru kart,że wszystkie karty będą różnych wartości i kolorów.
\(\kre{ \kre{ A} }= \frac{52 \cdot (39-3 \cdot 1) \cdot (26-2 \cdot 2) \cdot (13-1 \cdot 3) }{4!}= \frac{52 \cdot 36 \cdot 22 \cdot 10 }{4!}=\)
\(P(A)= \frac{\kre{ \kre{ A} }}{\kre{ \kre{ \Omega } }}= \frac{52 \cdot 36 \cdot 22 \cdot 10 }{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}= \frac{ 36 \cdot 22 \cdot 10 }{51 \cdot 50 \cdot 49}= \frac{ 36 \cdot 22 }{ 51 \cdot 5 \cdot 49}= \frac{ 12 \cdot 22 }{ 17 \cdot 5 \cdot 49}= \frac{264}{4165}\approx 0,063\)

[radagast]

4. W trzech urnach rozmieszczono kule:
1(3 białe 4 czarne)
2(2 białe 5 czarnych)
3(2 białe 3 czarne)
Losujemy jedną kulę z losowo wybranej urny. jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

ze wzoru na p-stwo całkowite:
\(P(B)= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} +\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}= \frac{29}{105}\)

jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z drugiej urny, jeżeli wiadomo, że wylosowano czarną?

\(II\)- zdarzenie, że losowano z II urny
\(C\)- zdarzenie, że wylosowano czarną
Ze wzoru Bayessa:
\(P(II|C)= \frac{P(C|II) \cdot P(II)}{P(C)} = \frac{ \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} }{ \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}+ \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} }= \frac{ \frac{5}{21} }{ \frac{22}{35} }=\frac{5}{21} \cdot \frac{35}{22}= \frac{25}{66}\)
Sprawdź czy rachunki się zgadzają. Mogłam się pomylić .

[radagast]

5. Test pojedynczego wyboru składa sięz 20 pytań, w każdym są cztery możliwe odpowiedzi. jakie jest prawdopodobieństwo, że student odpowie poprawnie na conajmniej jedno pytanie? jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba prawidłowych odpowiedzi w teście w takiej sytuacji?

Schemat 20 prób Bernoulliego. Jeśli to jest test jednokrotnego wyboru (co nie jest powiedziane) to \(p= \frac{1}{4}\)
\(A\) - zdarzenie, że student odpowie poprawnie na conajmniej jedno pytanie:
\(P(A)=1-P(A')=1- \left( \frac{3}{4} \right)^{20} \approx 0,9968\)
Najbardziej prawdopodobna liczba prawidłowych odpowiedzi w teście :
\(\left[ \frac{21}{4} \right]=5\)

[radagast]

6. Mając dany rozkład zmiennej losowej X(\(x_i\);\(p_i\))={(-3,5;0,1),(-2;0,2),(0;0,1)(1;0,25), (2,5; 0,15) (3;c)} znajdź wartość c oraz narysuj na wykresie rozkład zmiennej losowej.

\(0,1+0,2+0,1+0,25+ 0,15+c=1\)
zatem
\(c=0,2\)