5 zadań z rozkładu normalnego

[zixon2]

Witam serdecznie,

Mam 5 zadań, z którymi albo mam problem albo nie jestem do końca pewien czy dobrze je zrobiłem. Prosiłbym o sprawdzenie wyników lub pomoc w rozwiązaniu.

Zad. 1
Zmienna losowa \(X\) ma rozkład normalny i tej właściwości, że odchylenie standardowe jest o 5 większe od wartości oczekiwanej. Wyznacz te parametry jeśli wiadomo, że \(P(X > 3) = 0,9\).

Zad. 2
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego dana jest wzorem: \(f(x)= \frac{1}{ \sqrt{128\pi} }e^{- \frac{(x+20)^2}{128}}\). Wyznacz \(\mu\) i \(\sigma\) oraz \(P(X > 3)\).

Zad. 3
Ile wynosi największa wartość funkcji gęstości z zadania 2?

Zad. 4
Dana jest zmienna losowa \(X\) o rozkładzie normalnym ze średnią 647 i odchyleniem standardowym 40. Wyznacz \(P(|X - \mu| < 20)\).

Zad. 5
Dana jest zmienna losowa \(X\) o rozkładzie normalnym ze średnią 13,6 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz parametr \(c\), jeśli wiadomo, że \(P(|X - c| < 10) = 0,95\).

Tutaj zamieszczam moją próbę rozwiązania zadań:

Ad. 1

\(\mu = ?\)
\(\sigma = \mu + 5\)
\(P(X > 3) = 0,9\)
\(P(X < 3) = 0,1\)
\(\Phi( \frac{3 - \mu}{\mu + 5}) = 0,1\)
\(\Phi(-1,28) = 0,1\) //Odczytałem wartość 0,1 z tablicy, stąd ta -1,28.

I dalej nie jestem pewien jak rozwiązywać, próbowałem przyrównywać \(\frac{3-\mu}{\mu + 5}\) do \(-1,28\) ale wychodzą mi dziwne liczby i nie wydaje mi się, żebym dobrze to robił.

Ad. 2

\(f(x)= \frac{1}{ \sqrt{128\pi} }e^{- \frac{(x+20)^2}{128}} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} }e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\)

\(2\sigma^2 = 128 \So \sigma = 8\)
\((x + 20)^2 = (x - \mu)^2 \So \mu = -20\)

\(P(X > 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - \Phi( \frac{3 + 20}{8}) = 1 - \Phi(2,875) = 1 - 0,99795 = 0,00205\)

Ad. 3

Wartość \(\mu\), czyli -20.

Ad. 4

\(\mu = 647\)
\(\sigma = 40\)
\(P(|X - \mu| < 20 = ?\)
\(P( \frac{(x - \mu) - 647}{40} < \frac{20 - 647}{40}) = P(U < \Phi(-15,675) = 1 - \Phi(15,675) = 1 - 1 = 0\)

Ad. 5
\(\mu = 13,6\)
\(\sigma = 5\)
\(P(|X - c| < 10) = 0,95\)
\(P( \frac{(X - c) - \mu}{\sigma} < \frac{10 - \mu}{\sigma} = 0,95\)

I dalej nie jestem pewien jak znaleźć tę stałą, próbowałem robić tak jak w zadaniu 4, ale tam w ogóle nie liczyłem wartości \(|X - \mu|\), więc nie mam pomysłu jak to zrobić.

Uprzejmie proszę o sprawdzenie, czy te zadania, które spróbowałem zrobić są dobrze rozwiązane i ewentualnie pokazanie mi jak zrobić te, z którymi sam nie dałem sobie rady.