Mamy w urnie 7 kul białych i 3 czarne.Losujemy po jednej bez zwracania aż zostanie tylko jeden
kolor..Jaka jest oczekiwana wartość liczby kul które pozostaną?
Wartość oczekiwana liczby kul
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kerajs
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\(P(X=7)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8}= \frac{1}{120} \\
P(X=6)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} \cdot { 3\choose 2} = \frac{ { 3\choose 2} }{120} \\
P(X=5)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \cdot { 4\choose 2} = \frac{ { 4\choose 2} }{120} \\
P(X=4)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \cdot { 5\choose 2} = \frac{ { 5\choose 2} }{120} \\
P(X=3)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} \cdot { 6\choose 2} + \frac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{ { 6\choose 2} }{120} +\frac{1}{120} \\
P(X=2)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot { 7\choose 2} + \frac{ 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot {7 \choose 6} = \frac{ { 7\choose 2} }{120} +\frac{ {7 \choose 6}}{120} \\
P(X=1)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot { 8\choose 2} + \frac{ 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot {8 \choose 6} = \frac{ { 8\choose 2} }{120} +\frac{ {8 \choose 6}}{120}\)
P(X=6)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} \cdot { 3\choose 2} = \frac{ { 3\choose 2} }{120} \\
P(X=5)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \cdot { 4\choose 2} = \frac{ { 4\choose 2} }{120} \\
P(X=4)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \cdot { 5\choose 2} = \frac{ { 5\choose 2} }{120} \\
P(X=3)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} \cdot { 6\choose 2} + \frac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{ { 6\choose 2} }{120} +\frac{1}{120} \\
P(X=2)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot { 7\choose 2} + \frac{ 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot {7 \choose 6} = \frac{ { 7\choose 2} }{120} +\frac{ {7 \choose 6}}{120} \\
P(X=1)= \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot { 8\choose 2} + \frac{ 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot {8 \choose 6} = \frac{ { 8\choose 2} }{120} +\frac{ {8 \choose 6}}{120}\)