Prawdopodobieństwo geometryczne - 2 zadania

[aleksandra n]

Proszę o pomoc w następujących zadaniach :
1. Z przedziału [0,1] losujemy 2 liczby.Obliczyć prawdopodobieństwo, że iloczyn tych liczb jest mniejszy od \(\frac{2}{9}\) , jeżeli ich suma jest mniejsza od 1.

Udało mi się zacząć i otrzymałam:
\(\Omega = [0,1]x[0,1]\)
A= {(x,y) \(\in \Omega\) : x*y<\(\frac{2}{9}\)}
B={(x,y)\(\in \Omega\) : x+y<1}
Nie jestem pewna co dalej, wim, że muszę zastosować wzór na prawdopodobieństwo warunkowe
P=\(\frac{A \cap B}{B}\)
P(B)=\(\frac{1}{2}\)
Mam wątpliwości co do prawdopodobieństwa iloczynu
P(\(A \cap B\))= \(\frac{2}{9}*1* \frac{1}{2}\)

2.Na nieskończonej szachownicy o długości boku kwadratu równej a (a>0) rzucono losowo monetę o średnicy 2r(0<2r<a). Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a)moneta wpadnie całkowicie we wnętrze jakiegoś kwadratu szachownicy
b)moneta przetnie co najwyżej jeden bok

Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc, wskazówki

[panb]

A taki obrazek ci pomoże?

prawdo.png (13.69 KiB) Przejrzano 1848 razy

[aleksandra n]

niestety nie bardzo i czy wykres funkcji y=\(\frac{2}{9x}\) na pewno tak wygląda ?

[kerajs]

Przecież to hiperbola i dobrze jest narysowana.
Prawdopodobieństwo iloczynu jest równe iloczynowi zdarzeń tylko gdy zdarzenia są niezależne.
Tu masz:
\(P(A \cap B)= \frac{1}{2} - \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}((1-x)- \frac{2}{9x} ) dx=...\)

2.

kg.png (2.67 KiB) Przejrzano 1821 razy

Gdy środek monety jest w obszarze zielonym to krawędź monety nie przecina żadnego brzegu pola szachownicy, w żółtym - przecina dwa brzegi, a w białym przecina tylko jeden.
a)
Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pola zielonego do pola kwadratu.
\(P(a)= \frac{(a-2r)^2}{a^2}\)
b)
Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pola białego do pola kwadratu.
\(P(b)= \frac{4(a-2r)r}{a^2}\)