rozkład

[agusiaczarna22]

Proszę o pomoc w takim zadaniu:
X,Y-niezależne zmienne losowe o rozkł. Poissona z parametrem \(\lambda\). Jak obliczyć rozkł. zmiennej losowej\(X+Y\)?

[korki_fizyka]

https://www.google.pl/search?q=Jak+obli ... 8weO9LXgAQ

[agusiaczarna22]

ale co mi z tego, że wpisze w google jak już tak robiłam i nadal nie rozumiem:)

[panb]

\(P(X+Y=k)= \sum_{i=0}^{k} \left[P(X=i) \cdot P(Y=k-i) \right] = \ldots\)
... a teraz dasz radę kontynuować?

[agusiaczarna22]

niestety próbowałam, ale nie wiem ;/

[panb]

A co próbowałaś. Zastosuj wzory na rozkład Poissona ...

[agusiaczarna22]

X:
\(P(\lambda_1) p_X(k)= \frac{\lambda_1^k}{k!} e^{-\lambda_1}\) czy w dobrym kierunku idę?

[panb]

Oba rozkłady mają taki sam parametr \(\lambda\).
\(P(X=k)= \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)

[agusiaczarna22]

to nie mogę sobie rozbić dla X by była \(\lambda_1\), a dla Y: \(\lambda_2\)?
to teraz już nie wiem co robić;/

[panb]

Przecież w zadaniu napisali, że OBIE ZMIENNE z parametrem \(\lambda\).
W przeciwnym przypadku byłoby TRUDNIEJ - naprawdę aż tak nie masz o tym pojęcia?!

[agusiaczarna22]

a ja robiłam dla dwóch lambda.....

[panb]

To teraz zrób dla tych samych lambd i ... zastosuj się do mojej wskazówki.

Przyda ci się taka wskazówka: \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k} =2^n\)

[agusiaczarna22]

ok to zrobiłam tak:
\(P(X+Y=k)= \sum_{i=0}^{k} \left[ P(X=i)P(Y=k-i)\right]= \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k-i}}{i!(k-i)!} e^{-\lambda}= \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^k}{i!(k-i)!} e^{-2 \lambda}\)

dobrze?
i co mam teraz dalej zrobić?

[panb]

Ładnie sobie z tym poradziłaś!

\(\lambda^i \cdot \lambda^{k-i}\) oraz \(e^{-\lambda} \cdot e^{-\lambda}\) da się wyliczyć, a wyniki nie zależą od zmiennej sumowania i, czyli można je wyłączyć przed znak sumy. Zrób to i napisz co ci wyszło ... albo dokończ jeśli wiesz co dalej (patrz moja wskazówka).

[agusiaczarna22]

coś takiego?
\(= \sum_{i=0}^{k} \frac{i!}{i!(k-i)!} \cdot \frac{\lambda^k e^{-2 \lambda}}{i!}= \sum_{i=0}^{k} { k \choose i} \cdot \frac{\lambda^k e^{-2 \lambda}}{i!}= \frac{1}{i!} \cdot 2^k \cdot \lambda^k \cdot e^{-2 \lambda}\) ?